1樓：陳澤光
詳細的定義和幾種收斂性之間的聯絡可以在這裡找到：
泛函分析學習筆記 V：共軛空間 & 自反空間一致收斂強收斂弱收斂，但反過來是不對的.
下面補充兩個例子加以說明，
強收斂而不一致收斂
在 空間上，考查左推移運算元作用在 上， 令 ，於是有 下證 ，但不一致收斂於 ：
取特殊的 （第 個分量為 ，其餘全為 . ），那麼 ，因此按照定義， 從而 不一致收斂於 .
但對於 ，有 即 .
弱收斂而不強收斂
在 空間上，考查右推移運算元作用在 上， 令 ，顯然 ， ，從而 不強收斂於 . 但對於 ，由於 是 空間，由 表示定理，其上的線性泛函 作用在 上可以表示為內積的形式： \right|=\left| \sum_^x_i} \right|" eeimg="1"/>其中 的前 項都為 ，再由 不等式， \right|=\left| \sum_^x_i} \right|≤\left( \sum_^ \right|^2} \right)^}\left| \left| x \right| \right|" eeimg="1"/>其中部分和餘項 ，於是有 \right|\rightarrow 0 \; \left( n \rightarrow \infty \right)" eeimg="1"/>，即 弱收斂於 .
2樓：樸正歡
很簡單：
強收斂： 按自己的topology收斂
弱收斂：在dual上收斂, 即y(x_n)->y(x) 對於對偶空間中任意y都成立
弱星收斂：在pre-dual上收斂，即x_n(z)->x(z)對於pre dual空間中的任意z都成立
強收斂可以推出弱收斂和弱星收斂，這從對偶空間的定義可以直接得到。
弱收斂和弱星收斂一般不能推出強收斂，例子：Hilbert space上的任意orthonormal basis弱收斂並且弱星收斂到0，但是不強收斂。
弱收斂等同於強收斂的空間叫作擁有Schur Property, 例子：l1
若pre dual具有自返性，那麼弱星收斂和弱收斂等同，否則未必有關聯。
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