1樓：玖梅
並不能。
皮亞諾公理無法定義什麼是自然數集，通常對自然數集的定義是諸訴於非直謂的定義，即借助所有包含 0 且在 +1 下封閉的集合這一總體，來定義其中最小的那個集合為自然數集。反之，「自下而上」的構造是無法確定自然數集的外延，簡單的運用緊緻性定理就很容易構造出滿足皮亞諾公理的非標準模型，哪怕是完備的算術系統也存在可數的非標準模型，除非你諸訴於總體，取所有算術模型中最小的那個。
可即便如此，諸訴於總體也會有相應的問題——即使你預設了某個集宇宙 M ，在這個宇宙中定義的標準的自然數集也有可能在更大更真實的宇宙 N 中看來是非標準的
2樓：Sliark
首先，由歸納法可以證明「任意自然數，或者是0，或者有前序」。
那麼，如果自然數中有w不是0的任意個後繼，那麼由於w有前序、前序之前序等，自然數集合呈現。
那麼，或者第二部分中有數是第一部分某數的後繼或前序，那麼這是乙個串；或者兩部分沒有關係，那麼對命題「自然數數n屬於第一部分」，歸納公理不成立，矛盾。
3樓：
「｛0 1 2 3 ……w w+1……｝」
這是個什麼東西？
學過數學分析就知道，用逗號隔開這麼列舉的集合只能是至多可數集，否則不會這麼寫。
那麼我假設你寫下的這個集合是至多可數集，那w是在第幾位？你不能在無窮個元素後面的乙個確定位置擺下乙個新的元素，就好像你不能在數列的最後一位加乙個元素一樣，因為無窮無盡。
4樓：靈劍
就是靠歸納公理嘛，如果有0以外的不是其它數的後繼的數，把它從自然數集裡面摳掉得到乙個自然數的真子集，因為這個數不是任何數的後繼，自然仍然滿足第五公理條件，從而由第五公理得到它應該等於自然數集，這就矛盾了。其實歸納公理的意思就是說自然數集是滿足前面四個公理的最小的乙個集合，它只包含從0開始捋出去的一條單鏈，別的什麼都沒有了，只是用現在的形式比較嚴格，不依賴其它概念。
那麼對你這個例子來說，w不是任何數的後繼，摳掉它也滿足第五公理前提，那麼你給的集合一定不是自然數集合了。
5樓：鍵山怜奈
其實我自己一直沒弄清楚一般說皮亞諾公理時第五條歸納公理究竟是採用一階公理模式還是二階公理（可能還有不止一種不同的歸納公理，甚至強弱也不同）。
歸納公理模式(一階)：令 是單變元公式，那麼
集合形式的歸納公理(二階)：如果 並且對後繼封閉，那麼
一階形式是在小學和中學都見過的，如果乙個性質對0成立，並且如果對n成立那麼對n+1也成立，那麼這個性質對任意n成立；二階形式就比較直白。如果採用二階形式的話那這個問題比較簡單，因為 是對後繼封閉的，由自然數構成的集合，所以它就是自然數集，因此相對地 不是自然數集（不滿足歸納公理）
如果採用一階公理模式的話，那其實還需要進一步明確什麼是自然數語言，如果自然數語言裡只有後繼和等於的話，那麼任意乙個公式都是形如 意即 的公式，表現力非常侷限，在很多時候也無法真正地將一些元素排除在自然數之外。並且，只含 的皮亞諾自然數應該是完備的，畢竟它的表現力真的太侷限了，只能數數，任何乙個複雜一點的命題都不是它的命題。（完備不一定是好事）
所以說根據我自己的理解，如果採用一階模式，那麼需要預設自然數語言足夠豐富，或者乾脆直接允許任何可歸納定義的自然數函式。比如加，減，乘，除，冪，階乘，指數，和再往後的超運算等等。這時再回過頭來看 ，它滿足歸納公理嗎？
考慮關於 的公式， 0\rightarrow \exists y(y+1=x))" eeimg="1"/>，那麼首先可以知道 為真，並且對於有限的 總有 為真，對於無限的 總有 為假，因為 沒有「前繼」。這時矛盾出現了：
為真，但 為假，與歸納公理矛盾。因此題目中的集合不滿足歸納公理。
如果想象力再豐富一點，可能你會想對二階形式動手腳……只要讓 不是集合不就行了嗎？這又是收縮模型的問題了……
6樓：
第一，無窮公理肯定是可以和原有的公理不矛盾才能被接納成公理。
第二，零的性質等價於空集存在，而空集存在可以很簡單的從x(x=x)推出。
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