1樓：陳澤坤
其實我也有很相似的感覺啦，我的感覺也是，直觀地來講的大小反映了這個群的可交換的程度，而的大小反映了它不可交換的程度，不過也不是很絕對啦~
另乙個角度來說，是從下往上得到的交換群，而是從上往下得到的交換群。因此它們經常會有一些對應的結果，比如說兩者都可以用來定義冪零群（一類特別有用的群~）
似乎第二個理解更加合適一些，所以也許並不是反映了相反的性質，而是自上而下和自下而上的區別，所以這麼想的話，它們的大小關係也就並不是很有理由有乙個關係了（不過下面的Schur的定理還是給出了一些關係~），反例的話另乙個答主舉了我就不說啦
運用transfer（不知道怎麼翻。。）可以證出來一些與中心和導群相關的有意思的結論www
不過transfer的定義太醜啦。。。窩懶得搬運上來了，窩是在GSM92第五章上面看到的，有興趣的話可以看看這本書。
下面搬運一些定理~（證明就不搬運了QAQ需要先了解一些transfer的準備知識才行~）（其實是因為我也不會）
設G是乙個有限群,p是的素因子,那麼的sylow-子群是不交換的.
(Schur男神) 假設的中心擁有有限的指數,那麼是乙個有限群.
如果有限群的所有sylow子群都是迴圈群,那麼和都是迴圈群，而且它們的階互素，因此可以直接寫成在上的半直積啦~
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