1樓：
簡單的回答是，沒有概率空間，就不存在所謂「隨機」的概率。
所以在不同的概率空間的定義下，我們可以得到完全不同的隨機定義，於是得到各自言之成理的結論。正如上面某答案說的，概率公理化後才能徹底解決問題。
2樓：時屠雞
弦其實由圓周上兩個端點完全固定，端點在圓周上僅有乙個自由度，用自然座標s表示，那麼弦長就是（s1,s2）的乙個二元函式，雖然s1和s2的範圍都是負無窮到正無窮，但考慮週期性和對稱性，可以考慮讓s1=0，s2在0到2πr,在這種意義下概率為1/3;
然而弦的長度與其所截半圓的面積有明確的的函式關係，L=f(S)，在這個定義下概率為
又弦長度與圓心到弦的距離有明確的關係L=f(H),在這個定義下概率為1/2
雖然不同的測度下概率不一樣，但我傾向於認為該概率的集合必有確界，下確界應該是1/3.
3樓：
這三種方法可以簡化為求圓內通過這三種方法確定的弦中點的密度分布問題。第一種方法與第三種方法，除了圓心之外，每一點都是一一對應的。對於第一種方法，圓心是特殊點，因為選取不同的直徑，弦的中點都落在圓心上。
如果設圓內其他區域點的面密度為有限常數a的話，圓心的密度是一階無窮大，是半圓弧的線積分除以點的面積得來。對於第三種方法，圓內每一區域點的面密度都是一樣的。因此，第一種方法所有點的和的重心更接近於圓心，其任取弦大於√3r的概率要大於第三種方法。
對於第二種方法，以平均概率取乙個半徑，再以平均概率在此半徑上取一點作為弦的中點，由於點在半徑上的線密度一致，非常容易理解，離圓心越近的區域其面密度越大，與半徑r成正比。因此弦中點的密度分布是按徑向線性遞減的，類似於點光源的光線強度在空間的分布。定性分析，其任取弦大於√3r的概率也要大於第三種方法，至於是否大於第二種，需定量計算，並且還與√3有關。
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