1樓：孟武文卓
精確解就只能是求一元四次方程的根了，不過可以分解為如下形式去求解
近似解提供兩種，一種是Sampson Error:
第二種就是求最短距離，橢圓外一點到橢圓兩個焦點的角平分線與橢圓的交點，可近似最短距離
2樓：甘文迪許
我的 告訴我「求出這題的一般性的公式」十分困難，計算量非常大。
標準方程
極座標引數曲線
我只是來分享解題經驗的。
1.標準方程，不妨設
1-1得到的公式只能用 ，不能用 ——否則會當機（幾個小時都算不出來）。
用這種方法還是可以「望見」結果的，接下來請看其他兩種。
g[y_] := (n - y)^2 + (m - a Sqrt[1 - y^2])^2;
= yt /. Solve[g'[yt] == 0 && yt >= 0, yt, Reals]
2.極座標，假設
2-1這是我第一次見到「大型輸出」，那麼有多「大」呢？
2-2於是我不敢算下去了。剩下的請有興趣的讀者幫忙完成。f[
t_]:=s
^2+1
/(1-
eCos[t
])^2-
(2sCos[p
-t])/
(1-e
Cos[
t]);tt=
t/.Solve[f
'[t]
==0,t
]3.引數曲線，不妨設
又是「大型輸出」，這個最「大」
3-1f[t_] := (m - a Cos[t])^2 + (n - Sin[t])^2;
tt = t /. Solve[f'[t]== 0, t]
還是請 @醬紫君 提些建議吧！
//真是服了知乎了，不能上傳附件。
3樓：
這麼說吧, 已經有很多人回答了這個問題, 從他們的方法中可以看到對於乙個general的點到乙個general的橢圓上的距離, 最終得到的結果都是四次方程的根. 所以無論用任何方法來解答這個問題, 這些用到的方法等價於解乙個四次方程. 所以除非你問一些特殊的點和特殊的橢圓, 要不然這個問題是沒有意義的.
4樓：「已登出」
我有乙個思路：用座標變換把橢圓變成圓，比如令Y＝2y，X＝x，那麼x/4＋y＝1就變成X＋Y＝4，當然已知點也要變換，然後你得到變換後的已知點和圓心的連線與圓較遠的交點，這個交點逆過來變換得到新座標，然後用新座標與已知點原座標用兩點距離公式求出距離。這個方法沒用過，你可以試試。
5樓：老哥
數分三期末考試，老師出了一到用拉格朗日乘數法求三次曲線上到原點距離的極值。考試時間兩個小時，我用半個小時做完其他題目，剩下的時間都在解方程組。
6樓：陳辰陽
麻煩號稱不用解四次方程人的想想如果是橢圓內部一點到橢圓的距離極值有幾個？
如果不能接受數值解，光憑藉極值這個條件複數域上必然有四個根
7樓：
實際上有二次的做法（如果我沒算錯的話
手機先碼個框架，回頭有空補式子。
設橢圓上距離定點P0最遠的點為Pr，直接寫出過Pr的切線，易知切線與P0Pr垂直，容易寫出法向量內積為0的方程，大概這樣：
x0xr/a^2+y0yr/b^2=1
然後用三角形式代換，是cos theta和sin theta的非齊次線性方程，用萬能公式以tan theta/2代換sin theta cos theta，得到乙個二次方程。
由於利用切線垂直的性質，兩個解分別代表最遠點和最近點，看符號去掉乙個即可。
8樓：
沒有，因為本來取等條件就是四次方程的根。
舉個例子，考慮
, 則最大距離
其中 為 的第乙個根，約為
數值解為
t為引數方程的引數
9樓：
拉格朗日乘數法。已知橢圓的函式作為約束條件，橢圓外的點為（x0，y0)。構造拉格朗日函式
L=（d的平方）+λ（（x的平方/a的平方）+（y的平方/b的平方）-1）
其中d是橢圓外點到橢圓上的點之間的距離。
函式L分別對x、y、λ求偏導數，令偏導函式＝0。得到3個方程，求出x、y即為所求橢圓上的點。
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