1樓：溫尊
一、用經典的數學分析理論來說,設中開集,對映,由給出,而且滿足
為單射那麼取滿足的有體積集和上的連續函式,那麼也是有體積的,而且有
二、當然,用現代一點的話來說就是設為中開集,且是微分同胚.
(i)若在內Lebesgue可測的函式,則在上Lebesgue可測.再若,則
(ii)如果且,則,且.
跑題一下,傳統的球座標在高維上的表示式太過複雜,於是有了新的想法,整體思想就是從Lebesgue測度建立面測度.事實上對於,可以定義球座標為和給出了從到的雙射,引進在上的Borel測度,記在上的測度為,有如下定理:
【定理】存在唯一的定義在上定義的,使得,那麼對於乙個Borel可測的非負函式,或者是的有
可以得到乙個不錯的式子,也就是說如果是上的可測函式,而且是非負或者可積的,而且存在某個上的函式滿足,則
2樓：南中國海的一條魚
下面回答說明了曲面的法線正方向的確定方法。
曲面的法線方向是如何規定的？什麼方向是正方向？
在對座標的曲面積分中，曲面的方向尤為重要，因而需要明確引數方程的引數順序， 和 ，方向是剛好相反的。
設 則 的正方向就是 ．乙個非常簡單的計算曲面積分的方法就是這樣明確了方向後，雅可比行列式是不需要加絕對值的，因為這之前已經明確了積分區域的方向。（之所以有的課本講多重積分的時候，雅可比行列式加絕對值，是因為課本中並未明確積分區域的「方向」）
其實，一般的多重積分，也需要考慮積分區域的「方向」。比如二重積分就是平面的方向是法向量向上還是向下，一般是向上的。所以我們只要選對了引數的順序，就不用擔心「要不要加絕對值」的問題。
說一下極座標的二重積分。實際上二重積分是在平面 的乙個有限子集上的積分，我們只要讓 0" eeimg="1"/>就能符合要求（保證 與 同向）。極座標和直角座標的關係是 我們計算一下 （極徑恆大於等於零）
所以二重積分的積分區域的引數方程是 二重積分的極座標形式就是 ，化簡之後就得到了 ．
三重積分類似，三重積分的空間是「正」的，我們需要保證引數的順序能夠使雅可比行列式的值是正的即可（也可以按教材要求加絕對值，不過如果搞定了引數的順序就沒有加絕對值符號的必要）。
直角座標和球面座標的變換關係是
換元法的雅可比行列式是 這裡面， 表示緯度，我們知道， ，所以 ，所以
3樓：wzd
積分就是無窮個微元累加，不同座標系要搞清微元是什麼？
平面直角：是長方形，高是f（X），寬是dx，微元是f（X）dX∫是無窮項相加，∫f（X）dx，
極座標：微元是扇形，半徑ρ=ρ（θ），扇形孤長ρdθ，微元面積1/2ρdθ，
積分1/2∫ρdθ，
柱座標微元是薄片柱，
球座標微元是錐體。
孤長積分微元是直角△斜邊長，
曲面積分微元是小塊球面。
求重心微元是點的力矩，
多想想，就會了解一些基本空間概念，從而合理找出積分要素。
4樓：長在樹上的雲
二重積分和三重積分以及n重積分都有變數代換公式，拿三重舉例，代換x=x(u,v,w)，y=y(u,v,w)，z=z(u,v,w)實際上幾乎實現了從積分域xyz到積分域uvw的乙個雙射，而雅可比行列式相當於xyz座標系中的乙個體積微元(可視為乙個曲邊六面體，體積的計算可以用三向量的混合積近似計算)到uvw座標系中的乙個體積微元(可視為乙個長方體)之比，具體的雅可比行列式你可以自己推一下。所有的換元，不管是極座標還是球座標還是柱座標，原理都是這樣了。在某些點或面上的非雙射(如z軸上的點的球座標不唯一)不會影響最後結果，這點是可以通過求極限證出來的。
手機上不能編輯公式。。。。
5樓：
來一種和其他回答不同的方法，把笛卡兒座標換成廣義座標，笛卡兒形式的微分看成速度，用拉梅係數轉化廣義速度，這樣各種形式的正交座標系的積分公式都能直接計算出來了。
6樓：Petrichor
一般的來說像 在微分形式理論中可以看作是乙個n形式場在流形M上的積分即 ，這裡的 稱之為體元。等式的右邊是乙個3形式場
首先考慮笛卡爾座標系，笛卡爾座標系下的適配體積元 ,待積分的3形式場為 ,流形M上3形式場的積分為 。
到這裡都是在笛卡爾座標系下的結果，下面我們考慮在球座標系下，這個積分長啥樣，球座標系的的度規為 度規的行列式為 。體元的定義式為 。（笛卡爾系下g=1）球座標系下有 。
所以積分寫為 。
吶，出來了吧。。。
7樓：
是算出來的，造它就完了！
兩邊微分：
然後開始計算 到 的微元變換：
於是有：
上面的推導形式上比較簡潔，當然要是看著不順眼，也可以用雅克比行列式。如果既覺得上面的手演算法不順眼，又覺得雅克比行列式太難算，那就管它嚴不嚴謹畫個圖用幾何法湊出來球面體積微元：
有些時候形象直觀雖然會喪失一定的嚴謹性，但是不得不說是最保護頭髮的（ ╮╯▽╰╭）
8樓：趙戈19900225
是根據ρ在各座標軸上的射影得到的，並且更正一點，不是ρdρdθdφ，而是ρ^2sinθdρdθdφ，後式才是正確的體積微元。
三重積分的幾何意義是什麼？
107 一重積分是求二維圖形的面積，二重積分是求三位形狀的體積，模擬一下，三重積分就是求四維形狀佔四維空間的大小，或者不能叫形狀 witness 一維就是用乙個變數定義的量，在空間中即乙個點，用x定義，二維就是兩個變數，在空間中即一條線，用y x 定義，三維就是三個變數，在空間中即乙個面，用z x,...
如何證明這個關於三重積分的等式？
Xipan Xiao 已經有人給出了答案，這裡解釋下幾何上是怎麼回事 令 是乙個單位向量。所有垂直於這個向量的平面，將積分區域 單位實心球 切成一片片圓盤，向量 所在的直線穿過所有圓盤的中心，如同竹籤子串起來的一疊蘋果薄片。右邊的式子就是先在這些圓盤上積分，再沿著 把所有圓盤上積分加 積分 起來的結...
三重積分和四維空間有什麼關係嗎？（可以從空間形態上，或者其他關係上分析）？
進士 三重積分是什麼，忘了。但是，所謂四維空間是前後上下左右加時間，即空間 體 加時間 線 時空宇宙都是同論的，那麼我認為時間也有體，即時間有前後上下左右之分，而不是現代人類孤陋寡聞的時間是一條前進的線。無論時間史或是人類史，說不定某段時間是在倒退跌落的。這段 史 可能也有體積限制，我再講乙個題外話...