1樓：kksk
標量場的梯度的方向指向該標量增加最快的方向，關於這一點最直觀的理解就是想象一塊地形凹凸不平的地方，取乙個水平的切面作為平面，地形的高度作為標量場 的值，如果你站在這個標量場中的一點 ，那麼該點處該標量場的梯度 的方向指向對於你來說地形最陡峭的方向，如果你朝任意乙個方向走了一小段距離 ，那麼你的高度上公升了 ，這一點應該是容易理解的，那麼如果你隨便走，繞了一圈，回到了你的出發點，你的總上公升高度實際上是 ，寫成數學表示式就是
於是對於標量場來說梯度無旋。
當然如果把「梯度」定義為標量不增長的方向，即與原梯度垂直的方向，那麼這個「梯度」就有旋了，這樣上述積分式的意義也就不是你走一圈增長的高度了，而是一些什麼別的東西，要看「梯度」的大小怎麼定義。
關於向量場的旋度，將向量場 在 附近展開
忽略高次部分，上表示式右邊的第一項是乙個常場，第二項是乙個關於空間線性的場，而描述這個線性場的是這個向量場的梯度 ，而這個向量場的梯度顯然可以寫成矩陣的形式
描述疊加在 的線性部分，向量場的旋度就隱藏在這個向量場的梯度裡面。我們知道，任何乙個矩陣都可以寫成乙個對稱矩陣 和乙個反對稱矩陣 的疊加
注意到這個反對稱矩陣的元素就是由向量場旋度的分量組成的，而梯度的這一部分產生了
這樣乙個向量場。利用反對稱矩陣的性質 可以證明 ，即 處向量場的方向與 垂直。這顯然是乙個圍繞著原點「旋轉」的場。注意到
這說明，向量場的旋度的物理意義有些像描述旋轉運動的角速度 。
現在我們看一看向量場的散度， ，如果取旋度的方向為 軸（簡單起見），那麼旋度的散度就是旋度沿 方向的變化率，模擬角速度，如果你在乙個地方測量旋轉的角速度得到乙個向量，然後沿著該向量移動一小段距離，再次測量角速度，測量結果會改變嗎？當然不變，因此旋度的散度是 。
以上是個人覺得比較直觀的理解，如果有願意看的人發現錯誤或者可以完善的地方並能幫我指出來，那真是太棒了。
2樓：以冬以東
所謂梯度，就是落差，如果梯度有旋度，那麼就是落差構成閉環，想象一下全部向下的樓梯構成乙個環路。。。
旋度無散也是同樣的問題，所謂散度，就是進出乙個封閉空間的淨總值，旋度因為是個環，所以進出空間的淨值為0.
說到這裡，「旋度是環」又是個什麼鬼？旋度是環是說的太民科了，但是擼公式又擼不過課本。。。其實吧，很多時候大家想知道的只是「有旋」和「無旋」怎麼區別，有旋，就是乙個向量沿著閉環（跟點幾乎一樣大，半徑無窮小。。。
）走（積分。。。）一圈，淨值不為0，這就是有旋了。剛才落差（梯度）就是沒辦法做到這一點，所以無旋。。。
感覺答的還是不好，以後想到更好的再來更新。。。
3樓：YorkYoung
@起個名兒好難的回答是最準確的，可能不符合題主「從物理意義」的要求，但我必須糾正題主乙個觀點，就是什麼都喜歡追求物理意義，其實這個所謂的物理意義就是把數學語言換成生活語言說一遍而已，但往往生活語言是說不清楚物理問題的。
當然電動力學這種老東西還可以有點物理意義，不過抱著這種想法學量子、相對論這種比較新的東西，那就痛苦了。
理解旋度和散度，最簡單的就是兩個數學公式：
格林（筆誤，應該是高斯公式，下面就直接改了）公式
斯托克斯公式
高斯公式告訴我們散度，就是描述乙個很小區域中乙個向量場進入和退出這個區域表面的數量差（當然是求向量和，更嚴格說是曲面積分）。如果畫出向量場的積分曲線圖（比如電場線），散度就是進出乙個區域的積分曲線的代數和。
所謂無散，當然就是說進出任何乙個小區域的積分曲線是一樣多的。
然後再看旋度，它是描述乙個小曲面的邊界上沿著這個邊界轉了一圈的向量的投影的總和，當然嚴格說也是個閉合曲線積分，如果也用積分曲線圖（如磁場線）來說，旋度就是乙個小曲面邊界附近的環線的密度。
所謂無旋，就是說這個邊界周圍根本沒有環線。
所以梯度顯然是無旋的，因為梯度這個東西都是從原函式大值處指向小值處（記反了是從小處指向大處），物理上來說就是低勢能指向高勢能，顯然永遠都不可能有回頭路，只能不斷地向更小的地方跑，所以梯度的積分曲線永遠無法形成環線，當然不可能有旋度。
再看為什麼旋度無散，對於乙個閉合曲面而言，上面的任何一條環線都有兩個意義，從一面看是進入曲面的乙個環線的法向量（方向依照右手螺旋法則），從另一面看（由於曲面很小，所以從兩邊看都是附近的環線），又是出曲面的環線的法向量，於是任何乙個閉合曲線都同時提供了進出曲面的法向量，從而最後求代數和時全部都抵消掉了。
最後沒有有旋度的標量場，旋度只能對向量場求。
從積分曲線的角度看，有散度，就是說積分曲線有源（出發點）或者匯（結束點），有旋度就是說有閉合的積分曲線，這兩點當然是不矛盾的。
4樓：起個名兒好難
（1）標量場 的梯度為 ，它的旋度為 ， 的運算法則和向量差不多，兩個相同向量的叉乘自然為零，所以 這個是很自然的，也可以計算驗證。
（2）向量場 的旋度為 ，它的梯度是 ，這個可以計算出來必定為零，也可以這麼理解：把 看成乙個向量， 與 是垂直的，自然 了。
（3）標量場不可能有旋度，因為旋度是叉乘運算，標量沒有叉乘運算，所以標量場不存在旋度的概念，當然也不會存在散度的概念，標量場只有梯度的概念。
（4）有散的向量場的旋度沒有乙個確定的樣子，因為很多向量場是既可以有散度又可以有旋度的，比如一般情況下的電場，這個沒有乙個統一得的形式。
一般來說，乙個向量場 既有散度又有旋度，如果 ， ，則可以手動將向量場寫為兩部分，即 ，並且 ， ①（這個叫縱場）； ， ②（這個叫橫場）。注意橫場縱場的概念和橫波縱波不是一回事。根據①，由於旋度為零，我們知道標量場的梯度的旋度是恆等於零的，所以利用①，可以令 ③， 是乙個標量函式，負號只是為了和物理上一樣，一種規定而已。
把③代入①的旋度方程，可以發現是恆成立的。
同樣，根據②，我們可以定義 ④， 是乙個向量場，把④代入②的第乙個式子（散度方程）可以發現是恆成立的。所以就得到了：任何乙個一般的向量場 都可以寫為
⑤（比如對於靜電場而言，由於 ，所以靜電場只有縱場部分，沒有橫場部分，就可以簡單的把靜電場寫為 ；而靜磁場中 ，所以靜磁場只有橫場部分，縱場部分為零，可以簡單的把靜磁場寫為 ，別把這個 和前面的混了。也就是靜電場和靜磁場分別為縱場和橫場，它們是兩個特殊的向量場，而一般的向量場是既有縱場部分又有橫場部分的）
並且可以得到 和 分別滿足
， ⑥觀察④，發現 可以做乙個變換： ⑦，把⑦代入④可以看到， 和 得到的橫場 是相同的，這就說明按照④的定義， 是有自由度的。⑦式的變換和電動力學裡的規範變換是乙個意思。
為了簡化計算，我們可以選擇乙個標量函式 ，使得 ，這樣⑥就變為
， 這是泊松方程，求解起來比較簡單，數學物理方法裡面有一套求解方法。在這裡，規範變換的作用就是為了簡化⑥的第二個方程，簡化之後求解起來就非常方便。在電動力學中，取各種規範也是為了簡化計算，使方程變得簡單和看起來更對稱（比如洛侖茲規範下，電勢和磁矢勢滿足的方程形式和波動方程完全一樣，而且還可以很容易的寫成相對論的形式）。
最後來看，如何選擇標量函式 ，步驟是這樣的：假設我們已經有了乙個向量 ，但是 ，現在我們利用⑦的變換得到乙個新的 ，並且 ，也就是 ，最後得到 ，而 是已知的，現在求解這個方程（也是泊松方程），我們就得到了標量函式 。
上面這一段在電動力學裡面就是麥克斯韋方程的規範變換的內容，只不過電動力學裡面對應的是波動方程，而這裡是泊松方程。
5樓：不可問天
從物理上你可以理解旋度和散度就是向量場性質的兩方面，或者說就像x,y描述乙個平面一樣。一方面是像靜電荷那樣的輻射，一方面是環形閉合的環流。
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