1樓：予一人
以上是利用多項式長除法計算的結果，如果覺得不便於理解，也可以考慮先設出這結果，用它與 的級數做成 乘積，從而與等價的 級數比較，命對應項係數相等從而求出待定係數。
這種做法當然沒有給出這級數的通項。事實上，通過復變裡的一些技巧，花費一點氣力，也可以直接匯出 的級數展開式，但這已不屬於傳統分析的範圍。
數學上定義了所謂的 數 這相當於乙個數列， 作為這數列的第 項，是取自 冪級數的第 次方項的係數，即這前兩個數是 其後所有奇序項都是零。
對上面這式子稍做變形，就有 再命 代入，即得
到這裡，已經得出了這要求的級數。
但是，你不必訝異，更無須歡欣，這 並無簡單、直接的計算公式可循，因此，即使你寫出了這個式子，在某種意義上，也只不過是把乙個「謎」包裝成了另乙個「謎」而已，當然，這並不代表我主張這式子毫無價值和用處。
2樓：TravorLZH
題主，你發現寶了啊！！
當 時原式又可以利用幾何級數定義 改成：
其中 1,\zeta(s)\equiv\sum_^\infty" eeimg="1"/>，又根據Zeta函式的解析延拓， ，因此原式就可以被改成：
也就是我們想要的。
3樓：能思想的葦草
寫乙個這個麥克勞林級數的另乙個形式，先給結論：
通過適當換元可以得到乙個更簡潔的結果：
這裡給乙個說明，上面兩式中的 是指黎曼 函式，自變數為大於1 的實數時的級數表示式是：
能求得黎曼 函式的正偶數項
經過解析延拓還能得到 ,在這裡會用到。
下面來證明(下面的方法受啟發於另乙個答主在我的另乙個問題下的回答，否則過程會複雜很多，特此說明）。
注意到， 在整個復平面上的奇點有
根據擴充復平面上留數之和為0，有
即 注意到
交換求和次序，
注意到因為 ，故等式右邊第一項也可以寫入求和號。再整理一下，即可得到結果
利用這個展開式，我們只需要對函式 求導並求極限就能得到黎曼 函式在正偶數處的取值，方法變得比較初等。
4樓：Aries
首先看伯努利數的定義：
所以 注意到 及 都為零
故 所以
的展開式參見：
請問這四個展開式是怎麼來的？
補充的展開式也可寫成含有黎曼 函式的形式：
數學必修四最後一課叫簡單的三角恒等變換，就想問問是不是還有什麼更難的三角函式？
arctan x的麥克勞林級數收斂半徑是1還是 ？
雖然你的問題是因為你自己沒弄清楚，但是你的問題能衍生出乙個很好的東西複數域下的泰勒級數。先說你的問題。簡單來說就是函式在實數域下的定義域和其泰勒展開式的收斂區間沒有直接的關聯。再舉個和你這一樣的例子，的定義域是，但是其收斂區間也是。但是，函式的泰勒展開式確實和函式的定義域有關，只不過是複數域上的定義...
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