1樓：aneccentricmuggle
前段時間的一道作業題。還是挺有意思的，偶爾可能會被拿來做面試題啥的。
意思是：乙個實數 被稱作「重複數」, 如果滿足以下條件：對於任意k，存在m,n, (m不等於n)，使得 .證明：重複數的平方也是重複數。
解答思路：
利用抽屜原理證明0到1之間的所有實數都是重複數。
2樓：
這是2023年全國II卷的真題
第（2）問看起來複雜，其實過程卻非常簡單．這一問不需要做任何輔助線，也不需要繁瑣複雜的計算
（2）解：設二面角的大小為．由題設，，
， ，設與平面所成角的大小為，則有
與平面所成角的正弦值為
再看這道題：
第（I）問不難證明
（I）證明：，是的中點
，從而平面 ，是在平面內的射影
下面主要說第（II）問
有的同學在求解這一問時上來就採用一種最笨的方法：設λ死算．結果就是「思考半分鐘，計算一刻鐘」，而且非常容易出錯．其實從這一問的題幹中不難發現第（I）問的結論對第（II）問有幫助．過作於，可以證明點為所求．這樣問題就很容易解決了
（II）解：如圖，過作於，連線．
下證平面平面
由（I）可知．，平面
又平面；平面平面
平面，是與平面所成的角
在中，在中，
，綜上，存在符合題意的點，
3樓：木木
問題:已知等邊三角形ABC的面積為256， 甲乙兩隻螞蟻分別從A點沿邊背向而行，順次連線其前三次相遇的點，請問這三個點形成的三角形面積多大？
4樓：
證明：任意七個不同的實數 , 總存在其中兩個數 滿足\sqrt." eeimg="1"/>
從七個數中找兩個，那組合起來有7×6÷2=21種選擇，在這21種選擇中證明一定存在某一種選擇滿足這個複雜的關係，這題太難了吧！！
答案見下方。
答案：把七個數寫成正切的形式 ，其中 是 中的七個俯角。根據鴿巢原理總有兩個 , 於是 \sqrt." eeimg="1"/>
5樓：海東
數學的基礎是語文閱讀能力！
很著名的一道題：
兩列火車相距100英里，在一條直軌道上相向而行，速度都是50英里每小時，同時乙隻蜜蜂以100英里每小時的均勻速度從火車a出發飛向火車b,遇到火車b後立即飛向火車a，如此往返，問，當兩列火車相遇時，蜜蜂飛了多少英里？
大神馮諾依曼用了無窮級數，思考了兩秒鐘就給出了正確答案！
作為乙個高中數學常年保持年級第一的人，我輸了！
6樓：鹽選推薦
顧名思義，組合數學（ combinatorics ）的主要研究物件就是與「組合」有關的問題，比方說符合某些特定條件的物體組合方式是否存在，如果存在的話究竟有多少，如果有很多的話究竟哪個最好，如何用一種系統的方式把它們全部找出來，等等。小學奧數和中學數學裡所學的鴿籠原理、容斥原理、排列組合，都是解決組合問題最常用的方法。如果你曾經熱衷於這些玩意兒，那你一定會喜歡這一章裡的內容。
讓我們先從乙個極其經典的例子開始說起吧。
1. 我們常常把下面左圖所示的這種 1×2 的小長方形叫做乙個多公尺諾骨牌。給你足夠多的多公尺諾骨牌，你能用它們既無重複又無遺漏地鋪滿右圖所示的棋盤嗎？
每個多公尺諾骨牌既能橫著放也能豎著放。
該棋盤當中一共有 62 個格仔，每個多公尺諾骨牌都會覆蓋其中兩個格仔。單從這一點上來看，31 個多公尺諾骨牌完全有希望既無重複又無遺漏地覆蓋整個棋盤。你或許簡單嘗試了幾次，但每一次都會以失敗告終，事實上，我們可以證明，滿足要求的覆蓋方案並不存在。
首先，像下圖那樣對整個棋盤進行染色。
把乙個多公尺諾骨牌放在棋盤上，它總會佔據一黑一白兩個格仔。把 31 個多公尺諾骨牌放在棋盤上，它們應該佔據 31 個黑格仔和 31 個白格仔。但是，圖中的黑白格仔數目是不相等的。
這說明，滿足要求的覆蓋方案不可能存在。
為了確定上圖中的黑白格仔數量確實不等，除了乙個乙個地數以外，我們還有更簡單的方法。在乙個完整的 8×8 棋盤上按此模式染色，黑白格仔應該各有 32 個；但是，我們去掉了對角上的兩個格仔，這兩個格仔都是黑格仔。於是，白色的格仔還是 32 個，黑色的格仔就只剩 30 個了。
同理，如果我們在棋盤中去掉任意兩個同色的格仔，剩餘的棋盤都是沒法覆蓋的。有人或許想問，如果我們去掉的是兩個不同色的格仔，剩下的黑白格仔仍然相同，那麼滿足要求的覆蓋方案就一定存在了嗎？答案是肯定的。
我們可以先在 8×8 的棋盤中找出一條路徑，如下圖所示。這條路徑從某個格仔出發，既無重複又無遺漏地經過其他每乙個格仔，最後又回到出發點。我們把這樣的路叫做一條迴路。
在這條回路上隨便選兩個顏色不同的格仔，把它們挖掉，整條迴路就被斷成了兩截。由於我們去掉的是兩個顏色不同的格仔，因此這兩段路的長度一定都是偶數。我們只需要用多公尺諾骨牌順次鋪滿這兩段路即可。
在組合數學當中，「染色法」是一種非常常用的方法，很多與棋盤覆蓋有關的問題都可以用染色法來解決。讓我們來看另乙個例子吧：在俄羅斯方塊遊戲中，不同形狀的方塊一共有 7 個，它們的總面積為 28，那麼是否能把它們拼成乙個 4×7 的矩形呢？
雖然遊戲中的方塊似乎都是填補空間的好手，但這個問題的答案卻是否定的。原因很簡單：如果把這 7 個方塊都放到右圖當中，你會發現幾乎每乙個方塊都佔據著兩個黑色格仔和兩個白色格仔，唯獨「T」型方塊所佔的黑白格仔個數始終不等，因而 7 個方塊所佔據的黑白格仔總數也是不相等的。
但在乙個 4×7 的矩形區域中黑白格仔數目是相同的，因此它不可能被這 7 個方塊完全覆蓋住。
染色法還可以幫助我們證明很多其他組合問題的不可能性。這裡我們不妨再舉個簡單的例子。35 個人坐成乙個 5×7 的方陣，他們正在玩這麼乙個遊戲：
主持人一聲哨響後，每個人都必須迅速換坐到乙個相鄰的位置上去。乙個有趣的事實是，不可能出現每個人都找到座位的情況，換句話說每次遊戲都會有輸的人。原因很簡單，像剛才那樣對 5×7 的方陣進行染色，你會發現白色的格仔一共有 18 個，黑色的格仔一共有 17 個。
原來坐在白色格仔裡的人現在必須要到黑色格仔裡去，原來坐在黑色格仔裡的人現在必須要到白色格仔裡去。然而，黑白格仔的數目是不相等的，因此這群人的目標不可能全部實現。
7樓：qzwxsaedc
在初/高中題目裡面，題幹資訊越多的題一般越簡單; 相對的，題幹資訊越少的題一般越難。所以看到幾百字的題幹不要慌，說不定很簡單呢: )
8樓：
來隨便說乙個以前看到的
證明： ，其中
唔。。。懵逼臉.jpg懵懵
懵【突然開悟】急什麼，這種東西慢慢化嘛！
我們有 ， 嘗試直接對它應用絕對值不等式...
然後...然後好像就做完了耶...
注意到，於是...
Done！
這個故事告訴我們做分析題的時候千萬不要被形式嚇到...這真的是乙個quite easy done了...（溜
9樓：王大錘錘
我們學校有一次月考考了這麼一道導數題（出自名校聯盟，可能不少我們這一屆的學生都做過）：
第一問就不細說了，結論是當 0" eeimg="1"/>時 在 遞增，在 遞減。第二問的答案是這樣的（原答案比這還長，我已經省略了一些運算步驟）：
0" eeimg="1"/>，所以 。易知 0" eeimg="1"/>。
①當 ， ，所以 ，顯然 0" eeimg="1"/>。
②當 \frac 1e" eeimg="1"/>， ，令
，所以 在 單調遞減。又 ，所以 。
所以 ，即 0" eeimg="1"/>。
所以 -x_1" eeimg="1"/>。
我是沒有聽說誰在考場上把這題用答案的方法做出來（因為大家都在努力地極值點偏移）。不過我的同學 @chaijing 證出來了。他的做法是這樣的：
-a,x_2>\frac 1a-a" eeimg="1"/>，所以 \frac 1a-2a>0" eeimg="1"/>。
當然，判卷老師當時肯定以為他用了什麼瞞天過海的方法，所以就沒給他分。不過後來他把做法跟數學老師一說，數學老師感到十分震驚，又把他的分加上了。
後來我又碰見這麼一道題：
已知函式 0)" eeimg="1"/>。
①求 在 零點個數。
② ，是否存在無數個 使得 為 的極大值點？
第一問的結論是：
存在唯一零點 ，當 時 ，當 x_0" eeimg="1"/>時 0" eeimg="1"/>。
第二問開始也不複雜：
原問題等價於：是否存在無數個 ，使得？
下面答案是這樣做的，我最開始也是這麼做的（同樣省略一些步驟）：
記 。， ，而 0,g'(4)>0" eeimg="1"/>，所以存在唯一 使 ，當 時 遞減，當 時 遞增。
，因為 0" eeimg="1"/>，所以 ，所以 ，得證。
這個思路是非常正常的：你不是要證明存在 使 嗎？那我只需要求出來 ，讓 就可以了。
但是反過來一想，我只要找到乙個可行的 就可以了，不是非得找到最小值。那麼有沒有更簡便的 取值呢？答案是有的。
，得證。
當然這個答案不像上一道題的答案那麼完美無缺，判卷老師可能會扣你點分，因為題上問的是 1" eeimg="1"/>。當然因為 是連續的，這種做法從理論上來說確實是嚴謹的。
10樓：江浩
小學的時候遇到的一道題。
當時很顛覆自己對題幹的認知。
牧人趕著一群羊，需過99道關口，每過一道關口需要給收官人自己羊群數量的一般，然後出關再購買1隻羊。如此過完99道關口後，羊群只剩下2隻羊。問牧人開始過關有多少隻羊？
11樓：
某地要修水渠。水渠分成很多小段，每小段用三塊石板，一塊石板作為底面，兩塊石板放在側面。石板的寬均為1。側面石板與底面石板應該成多少度角，使得水渠的截面積最大？
12樓：薛小皮
證明：若平面上的無限點集S滿足：S中任意兩點之間距離為正整數，則S中所有點一定共線。
你以為這道題是數論題？
然而這道題的做法是：點A到B、C兩點距離之差只能取有限個正整數（三角不等式），其軌跡為有限支雙曲線和退化而成的直線，去除直線則兩組上述雙曲線之間交點只有有限個。Quod erat demonstrandum。
有哪些看起來很簡單但做起來很難的數學題？
雨雪晴 有2 3的素數p使1 p的迴圈節的長度為偶數。問題的提出見 1 Krishnamurthy An observation concerning the decimal periods of prime recipricals，J.Recreational Math.2 1969 212 21...
有哪些看起來很難證明起來卻很簡單的問題？
龍濱哥 有個問題印象太深刻，以至於過去很久了還記得，簡單描述一下 兩個人A和B相對走，一條狗在他倆之間來回跑，即碰到A跑向B，碰到B就跑向A，已知AB和狗的速度和AB距離，問兩人相遇時狗跑的距離？解法相當之簡單，用AB距離和AB的速度算出時間，然後乘以狗的速度。 梅梅沒 怎麼證明三分之一比零點三的迴...
有什麼看似複雜，其實做起來很簡單的菜？
川富在CFE 酸菜水煮魚 材料 魚 超市買現成的酸菜水煮魚包 蔥薑花椒八角等難點 把魚切片，要刀工和一定的技巧，咱也不是很會，只是看別人耍過做法 按照酸菜水煮魚包上的製作方法操作即可。 別來無恙 番茄炒蛋最最最好吃沒有之一的做法 這個是很簡單的乙個菜，我從小就愛吃不會做飯的小仙女也可以從這道菜做起。...