1樓：魔法少女蔡徐倫
在三次曲線 上任取點 ，直線 交該曲線於新的點 。連線 分別交該曲線於新的點 ，連線 交該曲線於新的點 。
那麼直線 共點，且該點位於此曲線上。
這其實就是三次曲線的群結構（所以說對任何三次曲線都成立…………）
2樓：沈環宇
知乎首答，不請自來。
有點湊巧，我上大學那會兒也曾認真地研究過題主所說的這條三次曲線。並且得到了乙個奇妙的幾何性質。這性質不用任何難懂的公式，只用一張圖就能表示出來：
很多年前做的圖了，有點粗糙。
其中 是曲線的漸近線。這是容易證明的。這張圖說明：三次曲線 與漸近線之間所夾的面積不僅有限，而且恰好被座標軸三等分。
正文回答到此，下面是一些拓展的結論。
分割線前面一位答主也提到了這條三次曲線與費馬大定理的關係，實際上，由方程 所定義的曲線被稱為N次費馬曲線，因為N次費馬曲線上有理點的個數與著名的費馬大定理有關。易見，二次費馬曲線是單位圓，題主所說的是三次費馬曲線，四次費馬曲線又是乙個類似單位圓的封閉曲線（只是看起來比單位圓鼓脹），五次費馬曲線類似三次費馬曲線是展開的，也有 的漸近線，等等等等 ……
—————— 以下內容有更新（2020.03.17） ———————
據此我們不難想到定義 次費馬曲線的面積 ：
當 是偶數的時候是封閉曲線面積的一半（這麼取是為了奇偶定義的統一，下面可以看到）；當 是奇數的時候就是曲線與漸近線之間所夾的面積。
不難證明，當 時 都有限。下面我不加證明地給出 通項公式：
結合 次費馬曲線在第一象限的面積值： （高讚回答已給出計算過程，套用第二類尤拉積分即可，我就不重複了），當 的時候只需將 代入即可證明上述三等分性質。當 則沒有這樣的性質。
所以從某種程度上說，三次費馬曲線有乙份獨特的優美。
另外，當 時無論奇偶，都有 ，這就是為什麼我們定義偶數的情況下取封閉面積的一半。該極限有乙個明顯的幾何解釋：就是當 很大的時候費馬曲線與 近似圍成乙個面積是2的等腰直角三角形。
如果關注的人多，我會考慮給出簡單的證明過程（萌新，知乎的公式編輯還不太會用，見諒……）
以上 。
3樓：
居然沒人提費馬大定理？
費馬大定理當 n=3 的情況：a^3+b^3=c^3 無正整數解。
於是：把c^3除到等式左邊：x^3+y^3=(a/c)^3+(b/c)^3=1，其中 x 和 y 是正有理數。
性質：這條曲線在第一象限中不會經過有理數點。
4樓：小羅非魚
「硬湊出來」的幾何性質
PN為切線
PH·NH=MH ＃
隱函式求導即可證明
當方程為單位圓的時候，M,N兩點重合
以上的＃姑且算作「切線偏移程度方程」
5樓：三川啦啦啦
曲線關於直線 對稱，從方程的對稱性容易看出；
漸近線為
方程 只有兩組整數解 與 ：
曲線的導數，由隱函式定理
見上圖， 是曲線上一點，，由射影定理可得
函式在 不可導，除此之外處處可導，單調遞減。如果將曲線沿逆時針旋轉 ，也就是將其漸近線旋轉至水平，
考慮此時導數：
二階導求拐點座標：
即 點為拐點，實際上其對稱點 經如上旋轉後，也是一拐點；
曲線與座標軸所圍成的面積 ：
令 最後這一不等關係從影象上看是十分顯然的。而曲線與漸近線所夾區域 的面積也是有限的，由對稱性，只需說明 軸下方的部分面積 有限即可：
易證由比較判別法可知積分收斂。
觀察數值，猜測
證明的思路是將被積函式在收斂域泰勒展開，然後積分與級數求和交換順序，比較級數各項是否相等。
對於積分 ，作變數替換
得接下來需要用解析延拓到 -n" eeimg="1"/>的 函式：
於是使用如上公式
利用餘元公式得於是
帶入到 ：
容我再想想……
此三次曲線展現了三次曲面的特性：
可以看得出曲面具有直母線
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