1樓：
二次型的幾何意義有很多，
這裡舉乙個最直觀的例子：
向量長度平方在不同基底下的表示式。
為便於理解，
以二維平面上的情形為例。
在平面直角座標系下，
兩個座標軸的基底向量記為 。
座標分量記為
Fig.1 直角座標基底下的向量分量
那麼根據勾股定理可知，
向量 的長度平方為
進一步可以寫成：
這就是乙個二次型，
其中對稱矩陣 稱作度規矩陣。
現在把其中乙個座標軸轉乙個角度
得到乙個斜交座標系。
此時兩個座標軸不再相互垂直，
而是成乙個夾角 (見下文圖2)。
將兩個座標基底記作 ，
將向量 在這個基底下的分量記作
其中座標分量 由圖2給出：
Fig.2 斜角座標基底下的向量分量
由圖中幾何關係以及餘弦定理可知，向量 的長度平方為：
這也可以寫成乙個二次型：
也就是說，直角座標基底下的
度規矩陣
在斜角座標基底下，變換成：
下面我們將通過幾何關係找出過渡矩陣
從而證明
將兩個座標基底放到一起：
Fig.3 兩個基底下座標分量的關係
通過圖中幾何關係可知：
於是過渡矩陣
於是座標變換下的新的度規矩陣為：
證畢。如果題主有機會學到廣義相對論，
會發現描述空間彎曲的曲率張量
就是通過不同座標系(參考係)下的
度規變換(二次型變換)來定義的。
在具體的幾何或物理圖景下，
二次型的意義其實非常清晰，
可惜我們的教材並未展現這一點。
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