1樓：yuyu
最近在看測度論，所以來回答一下題主的問題。文字加黑表示是數學術語
我們先從Riemann積分開始
Riemann積分中「簡單」一類的函式是逐段常值(piecewise constant)的函式， 可以容易進行積分。
逐段常值的函式直觀上就說階梯函式，定義如下
定義1(逐段常值函式) 設是有界區間，並設是函式，如果存在的乙個分法使得關於是逐段常值的(即對於每個，在都是常值的)，那麼我們就說在上式逐段常值的。
比如函式
是逐段常值的函式，因為它在關於的分法{}}上是逐段常值的
對於逐段常值的函式，我們定義逐段常值積分為
其中是任意分法，而在是關於逐段常值，為在上的值，為區間的長度，可以證明上式的值與分法無關。
比如，如下定義的函式
使用逐段常值積分，我們可以當以在有界區間上有界函式的Riemann積分
定義2(Riemann積分) 設是定義在有界區間上的有界函式，定義在的上Riemann積分
和下Riemann積分
如果，我們就說在上Riemann可積並且定義Riemann積分
如果上Riemann積分和下Riemann積分不相等，我們就說不是Riemann可積的。
使用這一定義計算函式的Riemann積分比較困難，我們一般使用微積分第二基本定理來計算Riemann積分。
(微積分第二基本定理) 設是實數，並設是Riemann可積函式，如果是的乙個原函式(即)，那麼
一大類函式有界函式都是Riemann可積的(比如連續函式，單調函式)，但存在有界函式，它不是Riemann可積的。
比如設，，那麼是有界的，但不是Riemaa可積的，因為它的上Riemann積分，而下Riemann積分
Lebesgue積分可以看成是Riemann積分的完備化，因為
Lebesgue積分延伸了Riemann積分，每個Riemann可積的函式都是Lebesgue可積的，且積分一致。
每乙個Lebesgue可積的函式都能夠被更好的函式逼近，比如Riemann可積的函式或者連續函式。
Lebesgue積分是從簡單函式開始定義的，並且可以統一處理一維和高維的情形。
定義3(簡單函式). 設 是正整數，乙個簡單函式是有限個Lebesgue可測集的指示函式的線性組合
這裡是自然數，是實數。
乙個非負簡單函式的定義是類似的，但在中取值而不是在中。
定義4(非負簡單函式的Lebesgue積分). 如果是乙個非負簡單函式，積分定義為
這裡 是 上的Lebesgue測度。因此在中取值。
定義5. 設是非負函式（不必可測），我們定義的下Lebesgue積分
我們也可以定義的上Lebesgue積分
但我們很少使用這個積分，注意這兩個積分都在中取值，並且上Lebesgue積分大於或等於下Lebesgue積分。
定義6(非負可測函式的Lebesgue積分) 如果是可測的，我們定義的Lebesgue積分等於它的下Lebesgue積分。（對於不可測的函式，我們不定義它的Lebesgue積分）
乙個可測函式說是絕對可積的如果積分
是有限的。
定義7 (可測函式的Lebesgue積分) 如果是絕對可積的，我們定義的Lebesgue積分
這裡是的正部和負部。
乙個例子就是Dirichlet函式
的Lebesgue積分， 是乙個簡單函式，根據定義3，它的Lebesgue積分等於 。
2樓：孫旭東
周民強的《實變函式》中有個很形象的例子：
先看離散的情況
假設有一疊錢，依次編號為，第i張錢的面值為
現在要計算錢的總額。
Riemann的做法是將依次相加，即
Lebesgue的做法是先把錢按面值進行分類：把面值為1分的錢的下標集記為,其張數為，2分的記為，……
最後看起來Lebesgue的方法複雜很多（事實如此），但我們來看（近似）連續的情形。
現在有一疊錢，比如有1000公尺厚。一張張數太費勁，此時Riemann的做法是：
先將這一疊錢劃分為很多的小份，然後他在每一小份裡隨機抽一張，乘以這份的張數。
Riemann認為，這個數就是這小份錢的近似值，其和就是整疊錢的近似值。
顯然，這是很不負責的行為。乙份錢中可以有1分的也可以有一元的，抽中不同的作為近似相差很大。這個時候Riemann計算的結果不靠譜(使用Riemann的方法算兩次可能會得到相差很遠的結果)，稱這樣的函式f不是Riemann可積的。
比如Dirichlet函式，是Lebesgue可積但不是Riemann可積的。
3樓：zero
lebesgue積分理論重要性是把積分概念推廣到了很大範圍的函式上，為理論研究提供了基礎和方便，但它的構建過程顯然不是計算友好的
實在要說例子，比如你可以算算[0,1]上的Dirichlet函式……
一般來說，常見函式都是Riemann可積的，它的lebesgue積分就是通過Riemann積分算出來的
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