1樓：PiKaChuu
這個問題其實幾乎就是問sinx/x極限
最後我們會回到最原始的問題：sinx究竟是什麼？
在這裡請拋棄掉不嚴謹的直觀，別說什麼畫個單位圓就完事這種事，我們要的是嚴格的數學論證，嚴格來講我們只承認什麼是極限，什麼是級數，這些東西是peano公理直接匯出的。
我給出如下過程：
首先我們需要定義e是什麼，然後用e定義e^x，正如圖中第一條算式。
然後匯出e^x的冪級數展開
然後我們用Euler公式定義sinz
然後利用冪級數展開式計算極限
有人會問你憑什麼用Euler公式？這不是迴圈論證嗎！
我的回答是，從完完全全的邏輯講，並沒有迴圈論證。我們想要的sinx的性質都可以通過這個方式推出來。
2樓：大派星
看似很簡單的問題，實則大有門道
這個極限可以說是微積分的基礎基礎。還有乙個極限是
e的極限
這道題遠遠沒有看上去這麼簡單，我敢說得有60%的人不會做，或者認為自己會做但是做的是錯的。
首先我們要明確一點，微積分中學習的順序，以及互相的關係。首先有實數系的建立，在這之前一切的定理都是未知。實數系建立後，我們自然說出實數系的公理，由實數系公理我們推出六大實數系定理。
以實數系定理之一為基礎，可以推出其他五個。
在此基礎上，可以推出整個的極限學說，其中極限學說中，數列的極限是基礎，再次基礎上推出函式的極限，這兩個極限（還有個e的極限）是用極限定義推倒證明的。
極限理論完善的基礎上，我們才有了導數的建立，這個極限參與了導數系統的完善，在sinx的求導中：
由此可知，sinx的導數要用的這個極限。
在導數理論完善的基礎上，才有的導數中值定理，才會有洛必達法則。
由此，當你求這個極限的時候，這個極限未知，導數理論根本就不完善，敢問各位，導數都求不出來，能用洛必達嗎？用洛必達的同時，你也會用到，sinx的導數，你也就用到了這個極限等於1，迴圈論證。
這道題，一點也不簡單，非常重要，是微積分基礎中的基礎！
在加一條，關於e的極限的證明
這個用的是夾逼法。總結一下，我們說如果說實數系的建立是祖宗，這兩個極限是爺爺輩，那麼初等函式導數是父親輩，微分中值定理是兒子輩，洛必達法則是孫子輩哈哈 。沒有這兩個極限，就沒有洛必達，所以不能用的
3樓：吾欲攬六龍
說不能用洛必達法則的，我想問一下，你不會用幾何法來求三角函式的導數嗎？
就這種方法。
你要說這種不行，？
題主好像是高中生，就不需要洛必達法則證明了。（教材裡也沒有）這個東西可以直接寫成sinx在0處的導數的倒數。就是所以就是1。
或者更直觀一點，這兩個函式在0處相切。
人家還沒學會走呢，大家不要教別人怎麼跑好嗎？更不要教別人跑法好嗎？
我知道大家都想嚴謹，嚴格。不過這種問題，你用嚴格證明，能夠看的懂的這個問題早就懂了。這樣的答案有什麼價值？
4樓：Algebra
我們首先證明乙個東西吧：
若 ，則 。
因為，對 0\]" eeimg="1"/>，考慮：
因為 ，所以對 0\]" eeimg="1"/>，總 0\]" eeimg="1"/>，當 時，有： 。
注意到當 時，有 ，故： 。
取 ，則此時 0\]" eeimg="1"/>，使得： 。
故： \left| } \right|\]" eeimg="1"/>。
不妨令 ，則當 時，有：
因為 是常數，故滿足極限的定義，有： 。
而大家都知道 ，這一很重要的極限，所以根據我們上面的證明，我們有：
，得證。
本來到這裡就打算結束了，畢竟 這個極限大家都會算。
不過我想多插一句：在學習數學的途中，一定要有乙個大體的框架，知道哪些定理較為基本，哪些定理是由一些更基本的定理推出的，否則，很容易陷入所謂的「迴圈論證」。
就拿證明極限： 來說，在這個例子中，你可以運用幾何法，也可以運用夾逼定理什麼的，但絕對絕對不能使用洛必達法則或者泰勒公式！
為什麼？因為在證明洛必達法則或者泰勒公式的時候，會不得不用到這個極限，這樣就出現了迴圈論證（ 的證明就用到了這個極限）。
那為什麼可以用夾逼定理呢？因為夾逼定理是可以由極限的定義： 語言直接證明的。換句話說，你可以理解成夾逼定理比極限 更「基本」，幾何法也是，也可以理解成比該極限更「基本」。
數學也是這樣，要由基本的往上推導才不會出錯。等等，那會不會有人問數學的基礎是什麼？
這個，希望你掌握了足夠多的知識後再思考吧 （手動狗頭）
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