1樓：去冒險的豬
在任何2人都沒有互相串通的前提下：
3人隨便出付款概率是：A 1/4， B 3/8 C 3/8， A佔便宜了啊！B，C肯定不爽了，如果兩人都出一樣的，這樣A付款概率就可能達到1/2，但是沒有串通的前提下，還是偏向與隨機出的結果。
A選擇宣告自己怎麼出：
然後麼就看BC對A是否達出拳一致了，如果都相信或都不相信，那A的付款概率都是1/2，剩下的是BC各1/4；如果BC出拳不一致，則A付款率0，BC各1/2。雖然綜合看概率和大家隨機出是一樣的，由於多了提示，BC會做同樣判斷，A是作死，結果為A 1/2，BC各1/4。
假設A是乙個很靠譜的人BC都很願意相信他的話，假設A是乙個很不靠譜的人，BC都不願意相信他的話:
智商已欠費的A君在作死的路上越走越遠，恭喜A君100% 成功千里送人頭。
結論就是：只要A誘使BC出拳不一致就能免單，即使BC出拳一致，A還是有1/2概率免單。做人留一線，日後好相見。智商不夠，錢包來湊。
2樓：沈穎初
不公平，BC應該拒絕。在完全隨機情況下有8種出手情況，BC付錢各有三種，三種情況看B可以知道出手背比出手心付錢的概率大兩倍，會傾向於出手心；同理C會傾向於選擇手背。A付錢有2種，手心手背概率相同，不會有傾向，即便知道BC傾向，對她也是一樣的，概率最低。
假設買單只會玩一次遊戲，不會無限次玩，對BC太不利。
追問的回答。就這麼著，A還藉著不公平玩弄BC，BC應該聯合起來讓A這個把他們當傻帽的人買單！
3樓：
A，手背，則B手心和C手背不付錢，B手心C手心不付錢，B手背C手背付錢，B手背C手心不付錢
手心，則B手心C手背不付錢，B手心C手心付錢，B手背C手背不付錢，B手背C手心不付錢
各1/4概率
B，手背，則A手心和C手背付錢，A手心C手心不付錢，A手背C手背不付錢，A手背C手心付錢
1/2概率
手心，則A手心B手背不付錢，A手心B手心不付錢，A手背B手背付錢，A手背B手心不付錢
1/4概率
C，手背，則A手心和B手背不付錢，A手心B手心付錢，A手背B手背不付錢，A手背B手心不付錢
1/4概率
手心，則A手心B手背付錢，A手心B手心不付錢，A手背B手背不付錢，A手背B手心付錢
1/2概率
這樣的話A隨機B手心C手背
難道還有更多選擇嗎？
A隨機，都是1/4概率，所以A確定隨機
B如果考慮他自己手心C手背A不付錢的概率，他選擇手背，那麼他變成了1/2的概率，對別人有影響嗎，沒影響，只有他自己的概率變大了，C同理。所以結果是，遊戲不公平。
描述增加的條件沒有改變概率
4樓：
先懟一下「b一定手心，c一定手背」這個答案吧，既然假設三人絕對聰明，那每人隨機出的概率是a1/4，b,c各3/8。若b一定手心，c一定手背，b，c付錢概率各變成1/2。由於A是隨機出，b,c的這個策略把a付款的1/4的概率平分到自己身上是很愚蠢的。
如果有b手心c手背策略，a就沒有付款概率。所以bc不會有這個策略。回到原題，公平是各自1/3概率，很明顯不公平
5樓：陳鋼
上面的回答都沒對第二個問題進行回答。
假設B、C相信A的話。
1、A宣告手心朝上。B只會跟，因為跟的收益最大，那麼C也只能跟。
2、A聲明朝下，從C來說，朝下是最好的策略，所以B也只能朝下。
所以，A只要以宣告相反的出法，基本是最不公平的。
如果B、C不相信A的話，那麼和其他人第一段的答案一樣。
6樓：維CC
單從概率來說是a是1/4b是3/8c是3/8，但如果b出正則概率為1/4，出反為1/2，c出正概率為1/2，反則為1/4，如果只考慮自己的概率，那b必出正，c必出反，這樣a就擁有決策權，且a不會付錢，但如果b和c互相考慮對方或只有一方考慮對方又有不同的演算法，所以我覺得考慮到所有情況最後的概率還是會接近單純的概率，a1/4，b3/8，c3/8。
7樓：開水煮魚
寫完發現有大神用支付等值法做過了_(`」 ∠)_這裡用期望得益最大來做麻煩了_(`」 ∠)_以U表示手心，以D表示手背
設買單的人的payoff為-1，其他人為0畫出支付矩陣：
數字從左到右依次為ABC三人的得益
先用劃線法看有沒有純策略納什均衡
看A的選擇，給定C選U、B選U，則A選D使自己得益最大，在上面矩陣左下角A的支付下劃線，餘下的同理；B、C同理，考慮C的時候，要跨矩陣看對應的方塊。如圖：
沒有三個數字都劃線的策略組合，即沒有純策略納什均衡。
再考慮混合策略納什均衡，設ABC分別以概率pqs選擇U，則三人的期望得益，並對各自的概率求偏導，解出pqs：
所以，納什均衡策略是：
A以1/2的概率選擇U或D，B選U，C選D最終博弈結果是：
A不用買單，BC各一半的概率買單，且取決於A的選擇。
8樓：
我來解釋一下上面的博弈論的答案。
首先結論肯定是不公平的。
對於每個人來說，其他兩個人的結果有（10，00，01，11）四種結果。
對於A來說，選什麼都可以。
但是B和C在考慮其他兩個人的情況下，會有傾向。例如B會傾向於出1來讓C付錢，C會傾向於出0來讓B付錢，但是他們都不能對A有影響，所有這個遊戲是A佔利。
9樓：了屋嚕
~~~~~發現改正後和高讚答案結果一樣耶，很棒，雖然不知道思路有沒有差錯，希望來指正~~~~
原答案:把手心當做1，手背當2，然後列舉嘛…
a1b1c1 a1b1c2 a1b2c1 a1b2c2
a2b1c1 a2b1c2 a2b2c1 a2b2c2
手心數為0或3的有兩種情況
手心數為1的有三種情況
手心數為2的有三種情況
公平個屁a要笑死了
第一次有數學渣渣可以答的題，會不會有疏漏？？
~~~~~~啊啊還以為題目很簡單呢，好像要考慮他們出的策略問題，瞎更新一下~~~~~~~
1.我紅色圈了a買單的情況，a肯定要考慮一下出什麼買單概率比較小，藍色圈是a出手心的情況，好像出手心手背買單的概率是一樣的，當然是在bc是傻子的情況下。
2.再看紅色圈b買單的情況，藍色圈為b出手心的情況，所以b出手心買單概率為1/4，出手背買單概率為1/2。所以b會選擇出手心。
3.再看c買單的情況，同理c出手心買單概率為1/2，出手背買單概率為1/4，所以c選擇出手背。
4.現在大家都不是傻子，b出手心，c出手背，a想出啥都行。
那麼重合的情況就是第二列那兩種（雖然不知道能不能這麼重合…）所以a出手心的時候c買單，a出手背的時候b買單。
結果出來啦，a不用買單還能決定誰買單。
10樓：
首先假設這三個人均不在意誰付錢，就是想隨意選個人出來，所有人均隨意出手，那麼三個人出手心為0的機率是1/8，1的機率是3/8，2的機率是3/8，3的機率是1/8。
11樓：司馬懿
題主增加了一問：
A發現遊戲並不公平，於是他決定放棄優勢。在伸手前，他將會宣告自己怎麼出。作為乙個無聊的人，他有50%的概率按宣告出手，也有50%概率戲弄B與C。
這樣會更公平嗎？
但是A這個承諾毫無意義，因為大家都知道他會反悔，所以他無論說自己是手心還是手背都是廢話，相當於他直接宣告自己隨機一半一半的概率。既然A的策略依然是均衡策略，那麼B和C保持不變。遊戲並沒有變得更加公平。
下面是第一問的答案：
似乎我看到這種腦筋急轉彎的博弈題主要靠 @Richard Xu 關注……
首先，這是三個人的博弈，不能預先假設每個人都是隨機的來出正反。其次，三個人都沒有佔優策略，所以我們的思路是先假設沒有純策略，先計算出混合策略的概率，然後來算期望支付。
假定三個人出手心的概率為 ，那麼出手背的概率就是 。我們假定付錢效用為-1，不付錢效用為0.
ABC出手心手背的期望收益相等，對於A來說,如果自己出手心，那麼只有當其他人都出手心自己才付錢，如果自己出手背，那麼只有其他人都出手背才付錢，所以手心手背期望相等，就意味著：
對於B來說，B出手心，則只有另外倆人都出手背才付錢，B出手背，則任意乙個人出手心付錢。
化簡之後得：
對於C來說，C出手心，只有另外兩個人有乙個人出手心才付錢，C出手背，則另外倆人出手心才付錢：
化簡之後得：
現在就聯立解這三個式子，發現 , 也就是說在納什均衡的時候，C的均衡策略是出手背, B的均衡策略是出手心，然後A以1/2的概率出手背和手心。
這樣的話，A是始終不用付錢的，因為B和C的策略在均衡的時候是不同的；而Ｂ和C均有一半的概率付錢，完全取決於A是手心還是手背。
這個結論可能很難讓人接受，但是考慮到納什均衡的定義，如果乙個狀態，沒有人能夠通過改變的自己的策略獲利，那麼這個均衡不管多麼不可能，都是納什均衡。我們就來看看B和C能不能做的更好：
如果C不選擇手背，選擇手心，其他人策略不變，那麼顯然，C在A選擇手背的時候要付錢，在A選擇手心的時候不付錢，依然是1/2的概率付錢；
如果B不選擇手心，選擇手背，其他人策略不變，一樣的，B會在A選擇手心的時候付錢，A選擇手背的時候不付錢，還是1/2的概率；
所以我們就得到了乙個這樣的納什均衡，A是唯一乙個隨機出手心手背的人，期望收益為0；而B出手心，C出手背，B和C的期望收益都為-0.5. 所以就可以回答題主的問題了，這是對A有很大傾斜的機制，均衡的時候A不但不用付錢，還有了隨機決定B和C誰付錢的權力。
12樓：
我來試著解一下納什均衡解吧。
a出手心手背的最優概率為0.5這個應該不用解釋了。假設b選擇出手心的概率為x，c選擇出手心的概率為y，那麼b輸的概率是 ，c輸的概率是 ，兩人的最優策略就是最小化自己輸的概率。
下面考慮一下每個人的最優策略（best response）：對於b來說，最優的x是
0 \\ \in [0,1], \textrm y = 0\end\right." eeimg="1"/>
對於c來說，最優的y是
把這兩組最優策略結合起來，就可以得出納什均衡解
Edit：剛剛發現我的計算裡面有了漏洞。要保證a出手心的最優概率是0.5的話需要保證 ，所以最優解就是 ，而不是乙個集合了。上面答案就不改了，反躬自省……
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