1樓：DuaiHan1020
排列方法數除了取決於人數，還取決於這些人具體身高差情況。
看你的說法，應該是預設了這些人身高形成等差數列。否則僅確定人數，排列方法數是不定的。比如123和124，排序方法數乙個是4，乙個是6。
但我不知道你的f(4)=10，包括之後的數怎麼算出來的，我看f(4)=18
2樓：靈劍
OEIS的鏈結裡面應該研究得比較清楚了，我簡單寫一下解法
首先這樣的交錯數列中，將第k小的替換成第k大的數，可以將第一步遞增的交錯數列替換成反向交錯的數列，因此兩種交錯方式的數列數量是相等的，因此總的數量是第一步遞增的交錯數列數量的兩倍——除了n=0和n=1的情況，這時候替換之後得到自身，我們規定n=0和n=1時第一步遞增的交錯數列數量為1，總數也是1。除此以外都有這個兩倍的關係。
設長度為n且第一步遞增的交錯數列數量為 ，在 時所有交錯數列總數就是 。考慮這n個數里最小的數，這個數的兩側一定是兩個第一步遞增的交錯數列（左邊的是左右映象過的），窮舉左邊數列的長度可以得到遞推式：
相當於先選擇i個數到左邊構造乙個數列，剩下的在右邊構造數列，總數是兩邊乘積再乘以組合數，最後對i求和，除以2是因為求得的是所有交錯數列，而我們定義f為第一步遞增的交錯數列。
注意到組合數可以寫成階乘的形式
令 ，可以消去階乘符號，變成
再次注意這個式子只對 的情況成立。
這個卷積的形式可以考慮引入母函式來處理。對這個式子兩邊同時乘以 ，得到
對 的項求和
令 ，有
和前面的式子比較可以發現只差k=0的項，也就是
補上n=1的項，注意到 ，有
而右邊的形式實際上是 的導數，於是有
這種非線性的微分方程一般是比較難解的，不過這個平方加一的形式讓我們想到了 ，注意到有
差個1/2的係數怎麼辦呢？調整下x的係數看看
這就對上了，但是G(x)還有初值條件 ， 。後者從前面的方程裡倒是可以推出來，主要是前者和 對不上。再新增個常數：
代入初值 ，可以取 ，這樣就可以得到
可以用切割化弦和萬能公式求一下等價的形式
或這兩者不是完全等價的，後者的定義域要更小一些，沒有定義的點從 增加到了 ，不過反正我們只關心0附近的泰勒展開的形式，在這一點上兩者沒有區別。
注意到 是奇函式， 是偶函式，所以 的展開式的奇數項就是 的奇數項，偶數項就是 的偶數項。
遺憾的是 和 的泰勒展開並沒有特別簡單的表示式，查Wikipedia https://
en.wikipedia.org/wiki/T
aylor_series
可以看到的泰勒展開需要用伯努利數表示， 則需要用尤拉數表示，抄過來就有：
注意到這個只是第一步遞增的解法，全部解在 時是這個值的兩倍。可以查一下伯努利數和尤拉數的表對照一下。
具體計算上來說的話，考慮到 ，而 有相對簡單的表示式，可以用多項式求逆的方式求出尤拉數的數值，不考慮高精度運算複雜度的情況下應該可以做到 複雜度。而 的展開式可以利用 用多項式乘法求出來，複雜度也是 。
實際上 也有很明確的意義，就是n個元素任意乙個排列符合第一步遞增然後交錯的條件的概率。 時乘以2就是交錯的概率。
3樓：何樸藩
可以在oeis搜到相關研究。
oeis.org/A001250
我想到乙個動態規劃的解法：
dp[i][j]代表要把1到i這i個數排成交替序列a1a3a5...，且第乙個數只能選1到j，的方案數。
那麼原題在n>1時答案就是dp[n][n]*2，n<=1時特判答案為1。
初始值：dp[0][0] = 1
轉移方程：dp[i][j] = Sum dp[i-1][i-k], k in [1,j]
很容易得到乙個O(n^2)的演算法。n=
100f=[[
0foriin
range(n
+1)]forjin
range(n
+1)]f
[0][0
]=1foriin
range(1
,n+1
):s=0
forj
inrange(1
,i+1
):s+=f
[i-1
][i-j
]f[i
][j]=
sifi==
1:print
('a[1] = 1'
)else
('a[
%d] = %d'
%(i,
f[i][
i]*2))
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