如何從偏微分方程邊值問題出發理解有限元方法的原理？

1樓：Jackie Lee

相關：答主本科學的力學，現在在讀計算數學的博士。（不知道為啥話題經驗改不了。。）

弱形式：我們研究乙個給定的偏微分方程邊值問題，為了數值求解，首先要把該問題寫成弱形式(weak formulation)，也就是積分形式。乙個經典的推導是泊松方程，可以參考維基百科的例子。

簡單的說，推導方法就是在PDE兩邊乘上試驗函式(test function)並在區域裡積分，利用分部積分和邊界條件進行化簡。

泊松方程弱形式

最後得到的結果是，U、V是某個給定的函式空間，這裡都取成，維數為正無窮。

伽遼金法：已有的弱形式仍然是個連續問題，沒法直接數值求解。伽遼金法就是把上述問題離散化的一種方法，具體就是用有限維的空間來代替，從而得到乙個可解的線性方程組。

如果為n維，不難看出，我們的弱形式會給出n個線性無關的方程，可以解出n個未知數。因此我們的數值解也要在乙個n維空間裡去尋找，即。最終我們的問題被離散化為。

在伽遼金法中，一種通常的選擇是，這被稱為Bubnov-Galerkin methods；與之對應，在解決一些更複雜的問題時，我們需要選擇不同的以保證穩定性，即Petrov-Galerkin methods。

有限元函式空間：所謂的「有限元」其實指的是我們數值求解問題的最後一步，也就是，伽遼金法里的該怎麼取？有限元法的回答是用分片多項式(piecewise polynomials)，把區域劃分成許多單元(elements)，在每個單元上都用多項式去逼近未知函式。

這是因為分片多項式具有良好的逼近性質，並且計算機能高效計算其導數、積分。