1樓：西蒙宮
需要證明解的存在唯一性嗎?
大多數時候，你都沒得選。如果你能證明解的唯一性，那麼大概率這方程只是很簡單。如果不能證明，也不是不能解。
對於實際問題中的大多數非線性方程，人類目前是一點辦法都沒有，不得不說數學工具還有很長的路要走。
具體原因，這位同學的解釋挺到位的。
舉個例子，流體領域，未簡化的NS方程一直沒有證明唯一性，因為是強非線性方程。但這不影響通過一些方法簡化計算出解，並進行工程應用，如今飛機可以穩穩飛上天。
如果需要的話證明解的存在唯一性時是需要在原偏微分方程下面證明還是也可以在差分結構下證明呢？
不了解你的第二問是什麼意思，如果你想要乙個類似Cauchy-Lipschitz定理的理論，恐怕要失望了，偏微分方程沒有類似理論。另一方面，對於差分方程的收斂性、穩定性、相容性以及誤差估計都是成熟的理論，可參考數值計算教材。
2樓：
一般情況下，不需要搞的那麼「嚴謹」，有限差分無非就是把微分方程轉換成代數方程罷了。
尤其是某個領域的慣用離散方法，基本上不會出什麼問題。
3樓：Fiddie
根據Lax-Richtmyer等價定理，如果原初值問題的解是適定的(存在唯一的)，那麼只需研究你的數值方法的相容性和穩定性即可推出數值解的收斂性。
證明適定性需要用到偏微分方程中的一些理論知識，比如L.C.Evans偏微分方程書的第二章對幾種二階方程都證明了一遍.
定理 [Lax-Richtmyer等價定理]假設線性微分方程定解問題是適定的, 若線性差分格式同它是相容的, 則穩定性和收斂性是等價的, 且誤差階不低於相容階.
參考：PDE有限差分方法(5)——收斂性、Lax等價定理
4樓：
這。。一般的方程沒必要考慮那麼多吧
能解出來就是穩定啊，不穩定很快就發散了
唯一性，好像隨便多換幾組初值就知道了吧
相容性無所謂吧，看你具體要求到什麼程度
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