1樓：Matrix
單純講變分法，很少。至少在物理領域。
在物理上，變分法類似於留數定理，是一種計算技術，不求其內在本質，只要算出來就OK了。
在經典力學裡有個最小作用量原理，用到變分法計算。
在量子力學裡，求波函式的近似，用到變分法。
會算就可以了，至於其本質是泛函分析還是實變函式，交給純數學的人研究。
2樓：
我再補充乙個小remark：現在的義大利變分法學派有個獨到的觀察——一些情形下，變分法的regularity theory可以直接通過變分結構發展，完全不用到相應的Euler--Lagrange equations。
這個paradigm的開拓者Giaquinta與Hildebrandt一起寫過一本教材，很有參考價值。不過裡面的regularity theory都是interior的，沒有boundary的。
說變分法過時肯定是不準確的。很多古老的問題到現在沒有完全地解決，包括極小曲面的plateau問題，包括(stable) harmonic map的singular set的dimension與characterisation的問題。
3樓：Rookie.Yao
最近也在學習變分法，我覺得老大中的變分法不錯，第一章有很多預備知識，也很容易理解，比如數學分析中的極值問題，二元函式的一些性質，高斯公式、斯托克斯公式的統一形式，一些變分引理等。
相比之下，上課用的教材，卻是很難讀懂，見下圖前面沒有預備知識，直奔主題，很多符號都沒理解啥意思，老師上課的時候也只是提一下。
感覺又要抄書了呢╭(╯ε╰)╮
4樓：不連續的存在
一般數學系泛函分析教材主要講的是Hillbert
空間，Banach空間及有界運算元，如果講的快可能涉及一些在PDE的應用（學校教材是張恭慶的泛函分析講義上冊，我自己看的是Reed和Simon的泛函分析）。數學系學泛函很大程度上是為了後面的現代的PDE做一些準備，可能不太會強調制分法。我自己學了一點有關於變分的知識還是在黎曼幾何裡學的。
關於變分教材我知道張恭慶寫過一本《變分法》（現代數學基礎那套的）雖然本人覺得張先生的書。。。至少我不是很喜歡讀。作為分析盲如果口胡了，還請及時批判》_<
5樓：
誰敢說變分法是過時的內容?我要和他對質。多麼無知！變分法是現代數學最為重要組成部分之一。
那位同學如果是經濟學的研究生，很可能會認為變分法已經被最優控制理論取代了。這是極其荒謬的。在基礎數學界，變分學的理論意義遠大於最優控制理論。
還有許多同學認為變分法只是最優化理論的分支，這種觀點大多也是從經濟學觀點看的。作為數理經濟學專業，我想說，以上觀點是非常片面甚至是錯誤的。
變分學同時為偏微分方程、微分幾何和最優化理論提供指導，並且是非線性泛函分析中最為龐大的分支之一。它在一般的本科泛函分析中是沒法介紹的。本科的泛函分析，其實是"無窮維線性代數"，連無窮維空間上的微分理論都不涉及，何談"分析"二字？
故真正的泛函分析，其實應該從"非線性泛函分析"才算開始。現代變分學，其實就是"臨界點理論"，要學習這塊東西，除了紮實掌握本科階段的常微分方程，復變函式，數學物理方程，實變函式，線性泛函分析，熟悉Sobolev空間理論以外，還需要初步的代數拓撲和微分拓撲學的基礎，譬如流形的橫截性定理和Morse理論，奇異同調群等，這些內容都遠遠超過本科所能容納的範圍。它太過艱深了。
對現代變分學（大範圍變分法/臨界點理論）有興趣的，我極力推薦張恭慶老師的《變分學講義》，學過古典變分法的同學可以直接從Soblev空間開始看起。這本書的起點不是很高，只需要本科實變函式與泛函分析導論、常微分方程和數學物理方程基礎的就能讀懂，不需要高深的拓撲學知識（雖說所謂的大範圍變分法就是變分法+拓撲學）
大範圍變分法的核心框架大概分以下幾個方面：
1.形變引理及其匯出的山路定理，流形的環繞結構與環繞定理（山路定理的推廣）
2.疇數理論與Z2指標理論
3.無限維Morse理論
6樓：
這應該從非線性泛函分析說起.
非線性泛函分析主要涉及5種方法：
解析方法（隱函式定理，分歧理論）
拓撲方法（Brouwer度，Leray-Schauder度）半序方法（錐，增運算元，減運算元）
單調方法（單調運算元，增生運算元）
變分方法
變分方法是非線性泛函分析的重要手段，它來自Bernoulli最速下降線問題，古典變分將求泛函的極值的問題轉化為解Euler方程的問題，現代變分將解帶有變分結構的微分方程的問題轉化為泛函的極值，求臨界點. @DTSlo Shao舉了很多PDE和幾何的例子，我不再多言. 當然在物理、工程等上也有很多應用，但從純粹數學角度出發，我們並不關心這些，畢竟它們與真正的變分方法的理論比較遠……
另外，一些答主提到了幾本書. 在內地，最早是方肇直和田方增將非線性泛函分析引進來(儘管他們的工作並不那麼non-trivial)，之後按時間順序，這3個人的書起了開創性作用：蘭州大學陳文yuan（山原，sorry打不出來），山東大學郭大鈞，東北大學趙義純.
他們之後，非線性泛函分析在國內就逐漸繁榮起來，張恭慶等人的書就是在此之後.
7樓：Leung Garging
個人理解，變分法只是求最優化問題的其中乙個方法，就像求函式極值的求導法一樣，可以直接看解決具體問題的教材，譬如最優控制或者一些物理教材
物理系適合的張量教材還有變分法教材
張舟 看一下hassani的對應章節即可，從數學上講清楚了，篇幅也不過大。Part VIII Tensors and Manifolds 26 Tensors781 26.1 Tensors as Multilinear Maps782 26.2 SymmetriesofTensors789 26....
為什麼醫院的診室這麼少？
白雲東平 中國不缺醫生，缺的是好醫生。大部分醫院並沒有像極少數三甲醫院那樣門庭若市，擠得水洩不通。在任何乙個時代，優質的資源都是緊缺的，醫生更是如此。在大醫院，年輕醫生甚至資歷較年輕的醫生往往號都掛不滿，根本不用排隊。優質的醫療資源 醫生永遠都是緊缺的。看病難是個相對論。 所有醫院的普通門診，比如全...
為什麼黑貓的數量這麼少？
藏月 我們這視黑貓為xx之物，說什麼邪門，一生下來就扔了唉，應該也是因為純色的比較少吧，我喜歡黑貓啊，感覺黑黑的挺好玩挺可愛，不曉得為什麼哈哈哈哈 七九 我家貓是暹羅和英短黑的串串，結果基因太強大了，真的生出了兩種品種，暹羅就是暹羅，小黑就像四不像！感覺就是體內的暹羅基因還在，超級皮！他妹妹就是暹羅...