1樓：
鑑於不同教材對domain的定義有別，這裡做一下約定：Ω是連通的開集。
對於 內每兩點 都可以定義兩個距離：直線距離 ，「形內距離」 .
若 ，則取 即可。這是因為：
假設存在 使得 不是單射，設 ,即 . 取可求長道路 連線 ——即 , 則
. 遍歷所有道路 ，得 , 所以 M" eeimg="1"/>, 矛盾！
因此題目轉為證明
幾何上看，這意味著Ω並不會「扭」得太厲害，任兩點的形內距離都不超過直線距離的常數倍。
反證法，假設 .
一、若Ω有界，且邊界Ω是可求長的曲線。
因為假設， ，
所以對每個正整數m, 可取 , 使 m" eeimg="1"/>。
因為Ω有界，故 是有界閉集，從而是緊的。
所以 必有收斂子列，且此子列對應的 亦有收斂子列。為記號方便，不妨設這個子列就是 本身。
設 ,則 ，
但 ，所以
①對於 ，
因為 ,
所以 ，不妨設（繼續取子列） .
顯然 不是Ω的內點，否則存在球形鄰域 , 於是當m充分大時 , 從而子列） ,矛盾！
但當 是邊界點時，考慮兩個有界集的距離 ,可知,
從而 ,亦矛盾！
總之，假設不成立，於是 .
②對於 ,
二、若Ω有界，但邊界Ω不可求長。
舉例來說，考慮曲線 ,
令 , 其中 指球形開鄰域。即 是曲線φ附近的一條狹長管道。
此時φ在0附近無限次振盪， ，而原命題是否成立待議。
三、若Ω不是有界的，
那麼 可以不成立，進而原命題也可以不成立。
此時對任意常數 ,我們取 1/c" eeimg="1"/>, 令 , , 其中 是x軸上長度為k的向量。
u的幾何意義即把曲線φ拉直到x軸上。
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