1樓：陪你看每乙個日出
很多答主都講了很多高等數學中的例子，這類例子確實很多，但是對於數學專業外的同學來說還是很難理解和看懂的，我在此分享乙個初中生都能看懂的問題。
在一本書上看到的乙個解答，當時直接震驚了，原題是這樣的，完全是個很平常的平面幾何問題：
在正方形ABCD中，BC是其對角線，F1和F2分別在BD和CD上，且滿足DF1=CF2，AF1和AF2分別交BC於P1、P2，求證以BP1、P1P2、CP2為三邊的三角形必然有乙個內角為60度。
常規解法一般而言就是直接建立座標系，設引數，表示出BP1、P1P2、CP2三邊長，然後用餘弦定理可以得到邊P1P2的對角為60度，計算量比較大且繁瑣。
有一種解法就是用的三維空間來解，解法極其優雅，能讓你感受到幾何之美。
將這個正方形分別沿AB邊和AC邊向空間翻摺得到如下正方體：
翻摺後，F1對應點f1，F2對應點f2，P1對應p1，P2對應p2，
因為是全等翻摺，所以顯然有Ef2=CF2=DF1，Ef1=BF1=Df2，從而F1F2=f1f2，
從而很容易得到 全等於 ，進而有 全等於 ，
那麼p1p2=P1P2，
而且Ep1=BP1，Ep2=CP2，
所以說以BP1、P1P2、CP2為三邊的三角形就是圖中紅色的三角形Ep1p2，
而三角形EBC是正三角形，從而角p1Ep2必然為60度。
其巧妙之處在與將所要求的三邊在三維空間中拼成了乙個正三角形的一角，解法十分優雅美觀。
2樓：宜城漫士
佔坑。正態分佈的反常積分，圓錐曲線的證明，根軸定理證明，SVM的VC dimension的證明，還有許多數學競賽裡的技巧。
有時間乙個個寫
3樓：
計算幾何中的lifting transform。例如要得到平面中的voronoi圖，可以先用 lift到三維空間，求三維凸包再投影到平面上。
4樓：猹猹
講乙個非常非常初等的問題：
是否能在n維線性空間裡找到n+1個點，這n+1個點兩兩距離相等？
這個題目在n較小時很好構造，譬如在三維空間里弄個正四面體，在二維空間里弄個正三角形。而對高維的情況，直接對座標進行構造是不那麼平凡的(雖然也不太難)。
但是，如果要求在n+1維空間裡找n+1個點滿足此條件卻是不難的，只要使這n+1個點分別是：
(1,0,0,0,...,0,0)、
(0,1,0,0,...,0,0)、
(0,0,1,0,...,0,0)、
......
(0,0,0,0,...,0,1)，
也就是n+1個標準單位向量對應點即可(或者說n+1階單位陣(行/列)向量)。它們兩兩距離為$\sqrt$。
注意到，雖然這n+1個點是在n+1維空間構造的，但實際上卻在乙個超平面上：
這個超平面是x1+x2+......+x(n+1)=1
所以這n+1個點實際上相當於在n維空間中。
那麼原命題自然是成立的。
5樓：Michael Jackson
《權力的遊戲》中布蘭成為了三眼烏鴉後，觀察能力便增加了乙個時間維度，於是解決了名正言順搞死小指頭的問題。
王家衛將「我愛上了這個女人」改為「57個小時後，我愛上了這個女人」，解決了如何讓感情逼格更高的問題。以及「如果記憶是乙個罐頭，我希望它永遠都不會過期，如果一定要加上乙個期限的話，我希望是一萬年。」
小明被關在乙個巨臭無比的廁所裡，空間密封出不去，在時間維度經過三個小時後，有人開啟了門他出去了。
歪個樓，數學家們勿噴。。。逃
6樓：
我感覺是dp的時候...咦這怎麼tm有後效性沒法dp啊暴力又過不去咋辦啊...唉不多bb加一維...
咋回事啊還是缺東西這玩意後效了啊...那再tm加一維....要麼這個題根本不是dp，要麼就加到能dp為止
7樓：
乙個非線性系統，在新增乙個恒等後，構成乙個廣義系統，得到的穩定性判據保守性會大大較小。還有就是矩陣不等式中的乙個例子。後面有時間補充一下。
8樓：
齊次座標算不算。
線性變換是兩個線性空間的對映，線性變換可以用矩陣來表示。假設是二維空間中的點，T是一線性變換，那麼存在乙個矩陣A，使得旋轉和縮放都有變換矩陣
但平移變換
寫不成兩個矩陣乘積的形式。
假設是二維點對應的齊次座標，旋轉變換和縮放變換的矩陣使用齊次座標，平移能用矩陣表示了
仿射變換就是線性變換後再平移，齊次座標讓仿射變換可以用統一的矩陣形式表示。
9樓：
龐加萊引理（Poincaré's lemma）：中可縮開子集上的光滑閉形式是恰當的.
From Calculus to Cohomology 這本書裡給了乙個證明，主要是構造乙個線性運算元滿足，這樣就是恰當的了.
證明裡先公升維構造,
以及,其中是滿足的光滑函式.
具體細節就不展開了，除開構造就是一些計算.
最後，這裡.
10樓：
這種技術在分析學中如此普遍且強大有力，怎麼翻了半天沒人提……那放著我來吧＠(￣-￣)＠
在分析學中，增加維度往往意味著對「一族」與原問題類似的式子或命題同時考慮。再借用分析中的技術，哪怕最幼稚地使用積分，都可以得出很不平凡的結論。
比如乙個小問題：A(k)為一列實數，且∑kA(k)sinkx≥0對x屬於[0，π]都成立(累加是對k進行，從1到某個有限的正數n)，求證∑A(k)sinkx≥0對x屬於[0，π]也成立。
解法如下：考慮 ∑kA(k)r∧k(sinkx) ，r屬於[0，1]，注意到這是乙個多項式的虛部，是調和函式，使用調和函式的最小值原理於區域｛1≥r≥0，π≥θ≥0｝，由條件可得，函式在邊界≥0(θ＝0或π顯然成立)，故整體也≥0，之後對式子除以r，再對r從0到1積分，也≥0，這就是題目想求的了。
哈哈，很可愛的小結果對吧。
但千萬別輕視小小乙個r的引入，在Fourier級數理論中引入r，並注意到和復分析的聯絡，如同剛才那個小問題裡考慮的，這幾乎已經包含了讓Hardy、Riesz兄弟等分析學大師名揚天下的復Hp空間理論的雛形了。
11樓：
（分享自知乎網）
這個答案裡面第乙個問題的解答，嘆為觀止。
12樓：
其實數學裡面還有乙個方向可以增加維度。 我們知道是一維的，很多時候我們可以利用這個維度。
動力系統中重要定理是說： 如果是到自己的全純對映， 那麼的週期點是Zariski意義下稠密的。 換句話說，就是不存在中的超曲面能蓋住所有的週期點。
這個定理的證明是這樣的。 首先利用Hrushovski的定理，可以在有限域上證明這個定理。
然後我們增加乙個維度。為簡單起見我們假設的係數都是整數。 然後就把看成定義在上的一族子對映。
在他的一根special fiber 上， 是定義在有限域上的自對映，所以定理成立。 而且容易證明所有週期點都是孤立的。 但是如果我們把f看成一族 上的自對映的話， 他在上週期點的每個不可約分支都至少有一維。
所以我們可以把special fiber上的每個週期點，提公升上這一族自對映的週期截面。 這樣就對應到它generic fiber上的週期點。 從而就能證明定理了。
13樓：別走
都別搶，我先占個坑
第乙個例子，whitney 嵌入定理，這個定理不算是多增加乙個維度，但是它確實可以讓我們把流形拓撲型了解的很清楚，特別的這個加上取乙個高度函式的trick可以證明任何緊流形上存在乙個餘集零測的座標卡。
另外乙個神奇的例子是chern weil theory用超渡證明的時候，可以從任何乙個聯絡多項式取trace是閉的推出兩個聯絡的差是恰當的。
hodge theory也算乙個例子，但是不是增加乙個維度，這裡面總的哲學是把質的困難轉化成量的複雜，雖然最後要用到橢圓方程正則性理論繞不開，但是我們把通過loop空間上看可以把乙個well define的調和形式存在的障礙看的很清楚。事實上，處理很多問題的時候都是在loop空間上去處理就是這個道理。
14樓：Leung Garging
最優化理論裡面的lagrange乘子法，通過把每個約束變成乙個增加的優化變數（維度），最後問題變成乙個無約束的最優化問題，可以用無約束最優化問題的求解方法求解。
15樓：zero
想起了nullstellensatz的乙個tricky 證明定理的Statement是：假如，則當且僅當tricky proof：（It's called Rabinowitsch's trick) 考慮（增加乙個維度），則中每一點，這些函式都不同時消失，所以他們生成了整個環，特別的
現在考慮代數同態把送到，則
現在選乙個足夠大的使得可以kill所有的分母，我們就得到所以在radical裡。
16樓：
公升維法在高等數學中的應用
還有求矩陣冪級數的和poj3233 - 金海峰
另：求解大規模優化問題一般用迭代法。如果是約束優化問題的話，一般是先找乙個可行解，然後從這個可行解走到乙個更好的可行解，如此迴圈，直到達到要求的精度後收斂。
但第乙個可行解怎麼找呢？對於問題(P): min f(x), s.
t. h(x)<=0.可以引入乙個新的變數s，把它修改成(P1)：
min s, s.t. h(x)<=s.
這時任取乙個x0，計算h(x0)，然後另s = max + eps就是新問題的乙個可行解。求解這個新的優化問題P1（不必嚴格求解，當s<0時即可停止），然後從P1的最優解裡把x拿出來就是原問題的乙個可行解。
17樓：TSKIG
4維共形理論可以通過公升一維在5維ads空間裡研究, 可以再公升一維再嵌入6維閔氏空間（度規研究, 因為四維的conformal group和六維的對稱群同為SO(4,2)
另外, 通過切割6維ambient space的光錐, 可以得到circle－de sitter space, parabola－minkowski space, hyperbola－anti de sitter space
以上的結論可以推廣到一般的d維, d＋2維光錐可以推廣為Fefferman-Graham space
克卜勒問題中的hidden symmetry可以通過hodograph的球極投影來理解
有哪些方法可以鍛鍊自己解決問題的能力？
多多魚 從牛角尖裡鑽出來，然後專門去做自己害怕的那件事，就是試著去解決去沒去體驗，慢慢的就會解決了。紙上談兵終覺淺。就是不要怕，去解決就好了。 liliy錦 如何提高自己解決問題的能力？第一 學會利用網路 你要相信地球上這麼多人，不會就你乙個有某某問題。有了問題，先上網查一查，你一定會找到同伴，也一...
有哪些能夠解決問題的思維模型？
陳慶華心理諮詢師 目標設定一定要具體，不能使是一句空泛的想法，一定是需要可衡量 可執行 有時間限制的。以下是目標提問的一些方法 你的目標是什麼？如果你知道答案的話，那是什麼？什麼時候實現？具體的目標是什麼？如果需要量化的話，拿什麼量化你的目標？確認了被教練者的目標後，需要讓被教練者認清現狀，現狀是有...
冷暴力是乙個正確解決問題的方法嗎
小小月兒 都覺得冷暴力不可取，是在逃避問題和責任。那麼我想問，如果乙個問題乙個毛病，說了一次又一次，也好好保證過不會再犯，結果當事情又發生時還是犯了，你要不要冷暴力？同一件事情說了一萬遍記不住，該不該冷暴力？有的人可能會說，這種人不扔留著過年嗎。對啊，可能就是因為賤吧。每次我對他冷暴力，自己心裡苦，...