1樓：Ubp.a
恰好學了這個，那我就從逼近論角度說線性插值吧，這是我的讀書筆記中的一部分，書是樣條函式與逼近論。有個大家不太知道的，就是線性插值不只有點插值。線性插值的範圍是很廣泛的。
大家一般理解的插值對應的泛函是點泛函，但是不同的泛函就會有很不一樣的插值問題。
是線性空間， ， ， ，所謂線性插值問題，是指 ，求 ，使得 在 上插值於 ，即
或者換個記法，令 ，希望將 分解為 ，其中 ，
就是乙個將任意連續函式 轉變成合適的插值函式 的運算元
可以視為點泛函來方便理解，稱為插值點
稱為插值條件
那麼 就是點泛函的線性組合，稱為插值空間，則 就是在樣本點處值為 的函式，正確插值後的誤差函式 都應在 中，故一般就記 中的元素為 吧
插值函式 與 的誤差函式 在樣本點處應為 ，故 ，而 就是插值正確的分解，即 滿足插值條件。
故 。關心有唯一解的線性插值問題，故引出如下定義
定義 3.1若 ，存在唯一的 ，滿足 （即 ），或者 ，則稱線性插值問題是正確的。
，即 滿足插值條件，整句話就是說滿足插值條件的函式只有乙個。
，則 ，存在唯一的 ， ，滿足 。
常見的比如多項式插值問題， 。插值條件是 ，即 。
可以觀察到插值條件的個數 / 樣本點個數就是 的維數
下面設 ， 是線性無關的
是函式組，線性無關好理解
是泛函組，線性無關 只有零解。對於點泛函來說，只需不同點即可。
定理 3.1線性插值問題 正確 可逆
存在唯一的 滿足插值條件
的充要條件為 可逆
其實這說明插值點在 M 上是線性無關的
若 和 給出正確的線性插值問題，則確定了從 到 的線性投影運算元 ，且滿足
和 中隨意取一組基 ， ，設 ，則插值條件為
解方程求出 即可確定 的表示式。
方程簡記為 ，其中 ， ，則
若恰好 ，則 ，但一般沒這麼恰好。但我們可以用雙正交化過程，同時改變 和 ，從而得到 和 ，使之滿足 。
設 ， ， 。
令 可證
定理 3.2設 和 的定義如前，則，
數值分析中插值多項式的構造主要利用了線性代數中的哪個知識點 ？
山林微分 用到知識點 1 範德蒙德行列式不為0。2 係數矩陣不為0，則方程組有唯一解。用n 1個點去構造n元的多項式，不妨假設構造的多項式為 那麼給定了n 1個點為 帶入上式得到如下方程組觀察係數矩陣為范德蒙德行列式 注意這是 n 1 階數的範德蒙德行列式，範德蒙德行列式值不為0，可知只有唯一解，因...