1樓：
證明很簡單：
採用題主給出的notation， .
固定y和z，對 求偏導數，
類似地，分別對y平方和z平方求偏導， 可以得到 和 ， 於是同時除以 即得 . 觀察到這個等式最左邊只是x的函式， A(x,y,z) 不依賴於y或者z； 中間只是y的函式，A(x,y,z)不依賴於x或z。所以A(x,y,z)誰都不依賴，是個常數， .
Q.E.D.
2樓：居然熊貓
我想給個看似視角新穎但實則毫無卵用的看法。
對於乙個系統，在我們選擇合適的座標系後，粒子速度的期望應該是0（考慮對稱性）。同時，由於給定了系統總動能，事實上是給出了例子速度的二階原點矩（注意到期望為0，二階原點矩等於方差）。
在統計學習中，乙個很重要的概念叫最大熵原理。就是說在滿足給定的約束條件下，具有最大熵的分布包含了最多的資訊，於是我們會優先選擇具有最大熵的分布。
結合最大熵原理和粒子速度的兩個約束條件（期望和方差給定），通過拉格朗日乘子和變分法，我們可以得到粒子速度的最大熵分布就是高斯分布。（推導過程幾乎能在任何一本統計力學/機器學習書裡找到）
注：這裡並沒有專門區分玻爾茲曼熵和資訊熵，事實上二者只相差乙個玻爾茲曼常數與對數換底帶來的常數因子。
3樓：konglongdou
本來決定不再答題了，但這個問題實在不錯，還是答一下吧。
先上結論：在連續的前提下，是的。這就是唯一的解。
證明：首先，將問題轉化為「如果f(x)f(y)=f(x+y)，那麼f(x)=e^kx」
令g(x)=ln(f(x))，那麼g(x)+g(y)=g(x+y)。令x=y=0，則得g(0)=0
設g(1)=k，那麼g(2)=g(1)+g(1)=2k，g(-1)=g(0)-g(1)=-k。同理可得對於x為整數，g(x)=kx。
然後又容易推出g(nx)=ng(x)，n為整數，那麼現在可以把x的範圍推到有理數。
要推到無理數就只能靠區間套了……就是用左右的有理數不斷去逼近，然後有理數是稠密的，於是就有乙個極限╮（╯＿╰）╭
現在證完了g(x)=kx，所以原命題證畢。
會問出這個問題，我猜題主是新概念物理的受害者……那本熱學不想用統計，又要推速度分布，就只能用這種奇奇怪怪的方式了。基本每個人看完這玩意都會有類似的疑問╮（╯＿╰）╭
正統的推法可以看熱統，推薦汪志誠那本。基本思路是先把MB分布推出來，再把速度分布作為MB分布在速度空間的特例直接寫出。類似的還可以直接推出等溫大氣粒子分布，超級便捷～
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