兩個賦範線性空間同構，其中乙個可分，是否另乙個一定可分（包括有限維和無限維兩種情況）？

1樓：

如果只是兩個一般的拓撲線性空間同構當然不一定，這是乙個拓撲問題。

如果是有限維賦範空間的話，兩個範數和等價，同構對映是連續的開對映。乙個可分另乙個也可分。

2樓：Yuhang Liu

這個問題能有意義只能是假設這兩個線性空間之間的同構是不保持範數的，或者更一般的，不誘導兩個範數之間的等價。因為否則的話，這個同構就不僅僅是個線性同構，還是個拓撲意義上的同胚，當然也保持拓撲性質，比如可分。

然後有限維是不用考慮的。有限維同維數實賦範線性空間都是等價的（等價不是說等距，而是說兩個範數相互被對方控制），或者換句話說，有限維線性空間只能容許一種範數拓撲。這種基礎知識如果還沒想明白，先暫停學泛函。

再說仔細一點的話，的Hamel basis是不可數的，但是它的範數基卻可以因範數的選擇不同而不同。賦範線性空間和線性空間不是一碼事，就好像環和加法群不是一碼事一樣，別不把範數當結構。當然這種區別只會在無窮維的時候體現出來，這也是為什麼泛函分析主要研究無限維空間，而有限維空間只需要用到線性代數。

泛函分析不僅僅包含線代，也包含拓撲，而且是同乙個線性空間上可以加各種眼花繚亂亂七八糟的不同的拓撲，什麼強弱弱*收斂等等的區別，都是因為拓撲不同。