相對論中克氏符為0是否等價於度規張量對角化？

1樓：觀光鴨

一般情況下，這兩者之間沒有直接的因果關係。

1，對於一般的非平直時空，我們總可以選取黎曼法座標系使得克氏符在一點為0，此時該點的度規也可以寫成閔氏度規。這是一種「萬金油」的情況，對於任意時空流形都能做到。

2，如果克氏符在某個座標系下的乙個鄰域內都為0，說明該鄰域內時空平直，鄰域內度規和閔氏的完全一樣。這種情況對應與局域平直的時空。

3，而對於一般時空來說，度規在整個流形上是否可以對角化，這取決於是否存在超曲面正交的Killing向量場，和克氏符沒有直接關係。Killing向量場的存在減少了度規分量中時空座標變數的個數，而超曲面正交則保證了可以在整個流形上將度規寫成對角化或者分塊對角化的形式。

2樓：薛丁格的小賤喵

應該是不等價的，克氏符為零是度規張量可對角化的充分不必要條件。

首先來看乙個定理：

如果黎曼空間中度規分量是常數，而且行列式

那麼一定可以找到乙個座標變換，把二次型

化為座標微分的平方和（或差）的形式，使其度規張量在新座標系下的分量為

顯然這是乙個度規張量對角化的過程，表示度規分量為常數是其可對角化的充分條件。

其次，黎曼空間中度規的協變微分為零，即

所以聯絡意味著

即度規分量為常數，根據上面的定理，此時度規張量是可對角化的。

因此，克氏符為零是度規張量對角化的充分條件，但是並不是必要條件，因為度規張量可對角化並不能推出克氏符為零，例如史瓦西時空的度規為：

顯然這是乙個可對角化的度規，但是史瓦西時空是彎曲的，其克氏符不為零。

所以克氏符為零是度規張量可對角化的充分不必要條件。

拋開數學公式，從純物理角度來說，黎曼空間中克氏符處處為零，意味著該空間的曲率張量為零。因此，這是乙個平直空間，通過座標變換自然能夠將度規寫成Minkowski的形式。對於空間中的某一點來說，因為黎曼空間是局域平直的，自然也能寫成Minkowski度規的形式。

但是反過來，度規可對角化，只意味著該時空是時軸正交的，也就是說能夠在全空間建立同時面，並不能說明這個時空是否平直，更不能說明該時空的這個座標系下的聯絡是否為零。

參考：趙崢，劉文彪. 《廣義相對論基礎》

3樓：Bra

問題問得有些模糊。

首先，無論克氏符是否為0，任意度規都可以通過施密特法對角化，只不過使度規對角化的正交向量場不一定是某座標系的座標基矢場。

然後，當你提到克氏符的時候，根據其定義，必然已經指定了乙個座標系，以及對應的普通導數算符 . 這時候說「克氏符為0」，只能說明。進一步，如果聯絡是與度規適配的導數算符，那麼可以得出以下兩個結論：

時空的黎曼曲率張量為0，度規是平直度規。

度規場是常張量場。

但這也不意味著度規在這個座標系下一定是對角化的。你可以隨便構造乙個4x4的矩陣，只要它滿足對稱性、洛倫茲號差以及矩陣中各元素是常數，這樣的矩陣都可以是滿足克氏符為0的度規。

不過對於這種常度規場，你的確可以找到另乙個座標系(與原座標系是線性關係)，使得這個度規在新座標系的座標基矢場下是對角化的。所以如果你的問題是「是否可以找到一組座標基向量場，使克氏符為0的度規對角化？」，那麼答案是肯定的。

4樓：Ricci Flow

Christoffel 符號的確是通過度規張量定義的

，但是和度規張量定對角化無關，和選取座標系有關。

若，則(自由)質點沿直線勻速運動，因此描述了關於勻速直線的偏離，是引力場的分量。而習慣上一般將度規視為引力場。

5樓：雷格朗日運動力學

應該不是，克符是跟度規張量和其導數有關，因此等與0不等價於度規對角化。另外度規是可以通過座標變換去對角化的。

舉個反例，史瓦西座標度規是對角化的，但克符不為0。

反例2，平直時空閔可夫斯基時空克符是0，且ds^2=-dt^2+dr^2，為對角度規。我們可以通過座標變化dv=dr+dt，du=dr-dt，因此ds^2=drdu，不是對角化的，但是因為是M4時空，克符=0