1樓：小咖啡
樓主的問題沒有進一步的描述，我不是很確定你真正想問的是什麼
不過我懷疑你想問的是，彎曲時空的參考係之間的時空變換關係，從而會匯出彎曲時空的參考係中的時空度量性質會是什麼樣的
就如同平直時空的慣性系中，運動物體會有鐘慢、尺縮效應，那彎曲時空的任意參考係中會怎麼樣呢？
不要說彎曲時空，就算是平直時空，比如從乙個慣性系到乙個勻速圓周運動的轉盤參考係的變換關係，與該慣性系到乙個勻加速運動的車廂參考係的座標變換方程顯然不同
之所以狹義相對論中，慣性系與慣性系之間的變換是洛倫茲變換，其變換方程是確定的，是因為「慣性系到慣性系的變換」這句話其實是對座標變換提出了嚴格的數學約束，這個數學約束就是：保持度規張量為 的等度規變換。在這樣的約束下，就匯出了洛倫茲變換的那套方程。
而任意參考係的變換不僅不一定是保閔氏慣性度規的變換，並且度規可以是任意的，具體要看選取什麼樣的參考係。
這個問題與時空是否彎曲沒有直接關係，時空是否彎曲決定的只是能否在該時空流形中建立全域性慣性座標系，也就是說其決定的只是黎曼曲率張量是否為 ，該張量的各分量是關於度規張量各分量的二階非線性偏微分組合函式。並不會對樓主問題的答案產生什麼數學上的明顯約束，正如前面講的，即使平直時空中，由於參考係的不同，座標變換函式也是任意的。
2、再說下任意參考係中的時空度量性質是怎樣的？
本回答就說樓主可能最感興趣的時間度量結果
樓主牢牢記住這句話：無論什麼樣的參考係（座標系），乙個物件在一段過程的固有時流逝量，就是其世界線長度，即 這個公式
舉個例子，樓主最熟悉的鐘慢效應方程，怎麼來的
慣性系的線元表示式為 就考慮水平方向，簡化點）
如果乙個物體在該慣性座標系中以速度 做勻速直線運動，那麼它的固有時流逝量
而此處 為該慣性系的座標時，等於其靜止觀測者的固有時，所以就有了鐘慢效應方程
如果不是慣性系，是任意參考係，也是用 這個公式來計算
比如，樓主應該知道，轉盤參考係中，同一半徑方向，半徑越大位置的靜止物體固有時流逝得越慢
看，這與慣性系明顯不同，慣性系中均靜止的物體固有時流逝速度是一樣的，而轉盤這個非慣性係就會與位置有關
為何？轉盤參考係的線元表示式為
這取的是乙個圓心位於轉盤中心，與轉盤共轉的極座標系，該座標系與取轉盤中心為原點的地面座標系的變換方程為
樓主請看，該轉盤系中一靜止物體的固有時流逝量
這裡要注意了，此處的 就不能隨便說是轉盤參考係靜止觀測者手中標準鐘流逝的時間，只能說是轉盤參考係的座標時。在廣義相對論中，座標時的物理意義到底如何，是需要根據度規推導的，前文說了，廣義座標變換只要求物理事件與時空座標的一一對應，座標不一定有直接的度量意義。不像慣性系中 就表示距離， 就表示靜止觀測者手中標準鐘（也可以說任意位置提前同步好的靜止標準鐘，表示慣性系統一的時間）的時間間隔。
樓主讀過廣義相對論就知道我在說什麼。
這裡還涉及乙個問題。我們的目的是根據上述方程，比較同一半徑方向，離圓心遠近不同的靜止物體的固有時流逝速度，那麼「比較」這個詞，在物理上說，無非是選定一段過程，比如近處物體的一段過程的始末瞬間，分別對應的遠處物體的始末瞬間，然後它們分別在自己的兩個瞬間之間，固有時究竟流逝了多少
因此，「比較」的前提，要先確定同時性關係，也就是說，比如我選定了近處物體的兩個瞬間，分別對應的是遠處物體的是哪兩個瞬間，必須把對應的始末瞬間確定下來，才能比較之間的固有時流逝量
為什麼涉及同時性關係？因為上文「對應」一詞，就拿選定過程的開始這個瞬間來講，意思是「近處物體處於開始這一瞬間的同時，遠處物體處於哪個瞬間」
好就好在，轉盤參考係，沿同乙個半徑方向， 相等就表示同時，至於為什麼，因為度規張量中 ，即該座標系時間軸與徑向軸是正交的，因此沿 方向 就是世界時，即如果同乙個 方向 相等的事件，就是同時事件。
這就是根據該參考係的度規，可以得出的 的物理意義，雖然它不像慣性系能代表靜止觀者手中標準鐘的時間，但卻可以作為同一半徑方向的統一時刻標記。
有了上述結論，比較同一半徑方向兩個靜止物體固有時流逝速度就簡單了，前面說了，選定的兩個物體始末瞬間要對應，相當於它們具有相同的 （表示始末瞬間），也就是說 相等。所以，根據 ，其固有時流逝速度關係就是：
也就意味著，同一半徑方向，離圓心越遠的靜止物體，固有時流逝得越慢
P.S.
至於為什麼 的條件下 才能作為徑向的世界時，廣義相對論教材中有具體的推導。簡單說，兩個事件同時的條件是座標時相差 ，慣性系中之所以座標時相等的事件同時，是因為慣性系的 ，而非慣性係就不一定。
比如這個轉盤系， ，因此沿圓周方向，座標時相等的事件就不是同時事件。
進一步講，圓周方向不滿足建立世界時條件，即對鍾結果不唯一，為什麼？按前文所講，沿圓周方向，座標時相差 的事件才同時，比如從同一圓周上點 到點 對鍾， 處於 這個瞬間與 處於哪個瞬間同時呢，應該是座標時相差 的瞬間，但是這個積分結果與取的 到 的路徑顯然有關，選擇順時針還是逆時針方向的積分結果是不同的。
說得更明白點，如果是比較 不同的兩個位置固有時流逝速度，至少是沒法定量比較的，或者說定量比較結果是不唯一的。甚至某些參考係，可能定性結果都不唯一，這個要具體計算，比如選擇不同路徑來確定對應的始末瞬間，從而比較固有時流逝量，可能根據路徑不同而得出相反的結果。
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