1樓：派大星算符
廣義相對論基礎是微分幾何。這沒有問題。
問題是，張量這一套，正如前面的答主說的，是Ricci等人搞的。我們常常以為這一套帶指標的東西就是張量本身，其實還有點不一樣，這些帶指標的東西只是張量在基底上的分量，梁燦彬版本的廣相教材也說過，張量本質是多線性對映。按道理應該有不用分量的formalism。
說到底就是因為物理學家們最後總想知道「答案到底是幾」，來和實驗對比。這時分量表述是高效的。
其實很多數學上搞微分幾何的學者都不大用這套，分量一套formalism大多出現在偏分析的場合裡。我也是看了yuhang liu的一些回答之後才知道這回事的，你看他的個人簡介就知道了。
2樓：yinset
張量這套體系不是老愛搞的，是里奇和列維-西維塔這幫人整的，老愛對這套體系唯一的貢獻是把求和號∑給省掉了。老愛擼這套系統也很痛苦，看他的手稿就知道擼的有多蛋疼，中間把場方程給搞錯了，直到2023年才弄對。這中間花了大概七八年時間。
老愛折騰張量這套玩意兒，最主要的目的是把牛頓引力這個刺頭給平掉，還有不花時間就作用的力，當我相對論的原理是擺設嗎？力必須得花時間傳遞，不能玩閃現，不能超光速，物理學的規律在任何參考係都得一樣，必須得一視同仁，不能搞特殊。
3樓：數學浪子
本質上是為了描述一種與座標系統選取無關的物理量（廣義相對性原理的要求），實際上也就是和基底選取無關，並且還滿足線性要求，這個剛好就是tensor了。
4樓：自學生
正中球面兩性時間的正反張量和向量，都是正中球面時間標準的核心引力和表面光線，都是正反兩性時間速度原理，都是正中兩性時間球面的正反方向資訊力量時間速度，都是無限數量個性核心生命，和單一共性空間時間的宇宙系統原理模型。
5樓：
廣義相對論的彎曲背景時空 ，是流形上加乙個時空度規。
知道了度規 （不一定開局就知道）可以得到很多，與 適配的唯一的協變導數算符 ，測地線方程，克氏符 ，還有黎曼曲率張量 ，里奇張量 ，標量曲率 。這些都是背景時空的屬性。
有點偏題，我初學理解不多。用張量的便利應該和不用張量比較，但不用張量也可以描述廣相嗎？
6樓：青春
你當然可以不用愛因斯坦的記號，實際上還有一套描述語言：多重指標，也非常適合描述張量。
這套記號其實想法很簡單，就是把指標及其形態給封裝起來，你只要定義好了合適的多重指標集合，就可以把張量寫的十分簡潔。
多重指標這種記號實際上也挺常見的，比如PDE裡面表示高階混合導數就經常用多重指標的記號寫成D^，其中\alpha=(alpha_1,...alpha_k). 把這種寫法搬過來當然也可以用來表示張量。
我們完全可以用多重指標來描述張量積和縮並運算。
7樓：武藏野
我覺得最直接的辦法就是跟著b站上梁燦彬老師的「微分幾何與廣義相對論」課程把前5章學習了，並做一下習題。大概也就20節課，花不了很多時間。
8樓：董唯元
因為理論要描述的是重力場，乙個「場」字天然就會要求用幾何語言，而且就用幾何曲率對應物理的場強，這是個在物理理論裡反覆使用的套路方法。用張量的好處就是可以脫離特定座標系，一般性的描述乙個場。
如果是對彎曲的幾何感覺不舒服，推薦看一本狄拉克寫的介紹GR的小冊子，他用更高維的平直空間包著彎曲的四維空間來推導，可能會讓人感覺更舒服一些。
如果只是對「張量」這個概念本身感覺不舒服，建議找些最近幾年出的講tensor的書看看，一般新點的書裡介紹tensor概念要友好一些。這東西其實也沒有太抽象，就是個吃進去向量吐出來數的機器而已，n階的張量需有n個嘴，要吃飽n個向量才能吐乙個標量出來。如果喂的不夠，只喂進去m（m＜n）個向量，那剩下的還是個n-m階張量。
每個嘴都是線性的。每求一次導就多一張嘴出來。
9樓：Triviality
正在學黎曼幾何的來「講故事」了。就當作是複習，希望在對已知的重構過程中發現新的東西。有關張量的學習筆記在我的個人主頁，Tensor calculus.
Youtube上搜尋tensor calculus 也有很多好資料，B站上有搬運（搬運不太完整）。
Tensor is what transforms like a tensor. ——Some physicists say.
Tensor is an invariant object under coordinate transform while the components of tensor do change. ——Some beginners say.
這個故事有點長，容我慢慢道來。
首先我們有一種幾何體叫做流形。流形就是乙個區域性看上去很像歐氏空間的東西，怎麼個「很像」法呢？對於流形上的每乙個點p，都存在乙個從歐式空間的開集U到p的開鄰域W的對映 （稱作區域性引數化），俺們要求這個對映是雙射（可逆），連續，逆對映也要連續。
好了，每乙個這樣的對映都能蓋住流形的一部分，很多很多這樣的對映就能蓋滿整個流形了。當我們在流形上「走」的時候，想象乙個手持GPS的人，一台GPS能覆蓋乙個不太大的區域；當我們走到兩台導航訊號重疊的部分的時候，我們需要在兩台儀器之間進行切換——很不幸，我們左手是GPS右手是北斗，他們不是一套系統的....於是我們有如下規定：
（這是微分流形定義的一部分，娘胎裡就帶著）
任意兩個有重疊部分的區域性引數化 和 之間的轉移對映 和 (注意它們的定義域和值域都是歐氏空間的開集，這是我們所熟知的multivariable calculus)都光滑。這樣我們就能在流形上歡樂的玩微積分了，假裝我們在歐式空間裡就行。兩套座標之間的轉換由他們的雅各比矩陣刻畫：
這和多元微積分中的鏈式求導法則換元沒什麼不同。
現在乙個問題來了：假設我有乙個要研究的東西 (這是流形上的乙個向量場，輸入乙個點給出乙個向量，其中分量V^i是流形到實數的光滑函式，那個偏導符號是流形的切空間的基），它在另一套座標下的表示式張什麼樣子呢？我們利用鏈式法則可以求得：
,那麼我們可以把在新座標下的表示式寫作
其中 。你看，這裡的指標都是一上一下出現的（廢話，我故意這麼寫的...)原則上你當然也可以把V^i寫成下標。
BUT！BUT！BUT！
當我們把指標寫成一上一下並且擦掉求和號，再觀察，你會發現兩套座標系下的同乙個東西具有一模一樣的形式！！！劃重點考試要考！！！雖然他們的分量函式不一樣，之間相差乙個雅各比，but你可以「假裝」像分數乘除法那樣「約掉」相同的v_j,得到原來的表示式。
這就是愛因斯坦求和約定的威力——爽啊！咳咳扯回來，每當你按照規矩寫上下指標的時候，只要是一上一下配對出現的東西，在座標變換下都是「協調的」，座標變換總是根據雅各比定的線性變換。
下面來乙個反例：不用多複雜，考慮 就行。考慮函式f(x,y)的梯度，在直角座標系下寫作
,這裡e1和e2是基向量。然後我們換乙個系：換什麼繫好呢，極座標系吧。
極座標系下的梯度是不是 呢？隨手Google一下發現不對...事實上可以用鏈式法則硬算，得到極座標下的表示式在e_theta那一項前還要加乙個1/r.
這正是因為基底在不斷變化的緣故——在微分幾何中這是家常便飯，你總不能指望一套恆定的基底包打天下。我故意把指標寫成雙下標，正是為了突出分量函式在座標變換下是不「協調」的，形式發生了根本變化。
打字累了，剩下的內容題主去看開頭提到的我的筆記吧.....
文末 @Yongle Li , Sometimes math is not that hard to understand, isn't it?
10樓：
We do not understand mathematics. We just get familiar with it.
11樓：
其實這套語言是數學家發明的。黎曼幾何是早就已經有了的幾何語言。
愛因斯坦求和是為了簡化記號，你一直寫西格瑪看起來多繁瑣，用愛因斯坦求和符號視覺上簡潔很多，否則你推導公式要多寫很多很多西格瑪。
張量這裡理解不了，我猜測是不是說協變導數和普通導數這裡的規則理解不了？其實一般的物理教材中，對張量的定義比較粗暴，協變導數雖然也提到了幾何意義，但畢竟不是幾何教科書，所以主要還是記住會用。如果你想從數學的邏輯上搞清楚，可以去看微分幾何的入門講義。
從集合論角度出發，在集合上定義拓撲，再定義流形，再引入張量，這個過程下來，就能從幾何的角度徹底明白那些運算規則。然後再把這一套語言用到物理上，就很輕鬆了。
12樓：尋風
因為廣義協變性原理
迄今為止我們一直以固定方式在時空連續區域放置座標，但這種方法就這樣失效了，而且我們好像沒有其他使座標系適應四維宇宙的方法，以使我們通過這些方法可以得到自然規律非常簡潔的公式。所以我們只能將所有可以設想的座標系原則上看做是同樣適合描述自然的，這就要求：
要用在所有座標系中都成立的方程來表述自然的普遍規律，就是說，他對於任何變換都是協變的[1]
要求方程廣義協變
前面我們已經看到，廣義相對性假設要求物理方程對任何座標 的變換都應該是協變的，因此我們必須考慮怎樣才能找到這種廣義協變方程。現在我們來研究這一純數學問題，我們會發現要解決他，公式 給出的不變數 起著重要作用，它是從高斯的曲面理論中借來的，我們已把它命名為「線元」
廣義協變理論的基本觀點是，設某些事物（「張量」）對於任何座標系來說由一些座標函式確定，這些函式稱為張量「分量」。如果分量在舊座標系中已知，而且新舊座標系轉換已知，那麼我們可以通過一些法則在新座標系中把它們計算出來，後面我們稱之為張量的事物還具有其分量的轉換方程為線性齊次式的特徵[2]
帶來的便利就是公式簡潔了許多，要不用張量純用分量函式那得麻煩死
廣義相對論中，能動張量 T ， 0 時的物理意義是什麼樣的？
盧健龍 廣義相對論中能動張量協變散度為零跟狹義相對論中能動張量散度為零是有很大區別的。後者意味著能量守恆和動量守恆，但前者則不是。尋風 和 小咖啡 的將能量守恆和動量守恆作為廣義相對論中能動張量協變散度為零的物理意義的回答是錯誤的 在廣義相對論中，能動張量是不包含引力場本身的能量和動量的。這導致能動...
廣義相對論中能量為什麼不守恆？
yinset 能量守恆定律是物理學裡最牢不可破的定律之一，廣義相對論中同樣也成立。廣義相對論中的能量守恆定律寫作 分量形式是 能量守恆不僅要求總的能量守恆也要求局域的能量守恆。在廣義相對論裡總是可以選擇乙個區域性參考係，在這個局域參考係中，物理定律和狹義相對論的物理定律相同。狹義相對論裡能量守恆定律...
廣義相對論與狹義相對論的區別是什麼？
無形枷鎖 狹義相對論描術的是慣性系物體遠動。由兩個基本假設，物理定律在慣性系不變，光速在參考係中速度恆定。從而推理出，時間膨脹，空間縮短。廣義相對論先是把理論拓展到所有運動系 之前相對論只適應於慣性系，太過於理想化。不僅如此，廣義相對論用等效原理，把引力和加速度等價。也就是說，廣義相對論不只描述運動...