1樓：
實射影平面裡只要保持collinearity（直線map到直線）的變換就是射影變換。也就是只要是collineation就自動保持交比不變。
關於交比的motivation：在齊次座標下，設C = A + uB，D = A + vB，則u/v為ABCD的交比。射影變換後，可以看作B放大了λ，所以uλ/vλ = u/v不變。
2樓：
我只知道交比定義在乙個域 的射影線 上： 定義為乙個對映 的Mbius變換在 點的取值。這樣，很明顯交比就是一種表示Mbius變換的更方便的方法。
比如，如果我們知道乙個可逆函式保持交比不變，那麼這函式就滿足，所以 也就是 的逆對映，這就是乙個Mbius變換。還有，如果知道幾個點的取值，想找乙個特定的Mbius變換，用交比也很容易（先把三個點投到 ，再把 投到另外三個點）。
所以，為什麼交比很重要？也就是為什麼Mbius變換（也可以叫射影變換）很重要。我認為是因為作為「線性」對映它比較簡單，容易處理（不是真的線性，但我們有Mbius群和PGL2的等價）。
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