1樓：
羅素悖論已經被非標準分析領域徹底解決了，用的是二階邏輯的公理系統，[1]絕大多數一階邏輯的公理系統在二階邏輯的公理系統那都出了問題，涉及的公理太多，之前已經說過外延公理（ZF1）和無窮公理（ZF6）都是怎麼出的問題，這次在講兩個公理又是怎麼出的問題。
一階邏輯的存在公理（ZF0）：存在乙個集合
你們以為 就是完全正確的？根據二階邏輯的公理系統，一階邏輯的公理系統裡兩個相同的元素 在二階邏輯的公理系統裡可能不是同乙個元素 ， 即在二階邏輯的公理系統是一種常態現象，這要在三階邏輯的公理系統裡才能理解透，比如A=，B=，A∩B=，A集合系統內的兩條平行線的交點座標出現在B集合系統那，A，B系統涉及的關聯計算就在三階邏輯的公理系統那，涉及到非標準分析的極限思想，也涉及了很多幾何既不是歐式幾何也不是非歐式幾何，一類新的幾何型別。
一階邏輯的分離公理（ZF2）也存在問題，在二階邏輯的公理系統看來，由於邏輯上可以成立，對兩個一階邏輯相同的集合 使用分離公理，得到子集 和 ，出現了 的現象， 是 的子集嗎？在二階邏輯系統看來就不一定，所以一階邏輯的分離公理也就跟著出問題了。
對於非標準分析領域來講，從邏輯上解決羅素悖論之類的已經是很簡單的問題了，非標準分析領域還有很多更重要的事情要做。
2樓：庵溪
帶來了更嚴密的「型別論」，用以規定集合和邏輯。講真，我原來也對羅素悖論很有幾分敬畏感，直到知道了型別論，我就覺得我們人類腦子還是清爽的。
（還是乙個文科生的感慨，用以記錄這難得的沉迷數學史的日子）
3樓：
@賈明子 為我們理清了問題的重要歷史背景：弗雷格在用邏輯體系來闡述數學。
羅素悖論是弗雷格系統第五條公里推導下的悖論，這條悖論在動搖弗雷格體系。
但是換個角度看，用羅素悖論來定義0的話特別合適：
從語義上來講，0的本義就是不存在，也就是矛盾、悖論。
從外延的角度看，0個就是沒有，矛盾的、不存在的事物在數量上就是沒有。
如此一來，重新修正數的定義，弗雷格體系是不是又可以自洽了呢？
那麼羅素悖論是不是就是人們從集合論的角度對0的進一步認知呢？
4樓：烤羚羊
除了理髮師悖論，最近讀完的西蒙·辛格的數學科普《費馬大定理》提到的目錄書悖論也挺通俗的，憑記憶隨便敲一下
假想有乙個圖書館，裡面有好多不同種類的書，我們給每個門類下的書目各製作了好多的目錄，這些目錄也各自成書。其中一些目錄書只是收集了別的書的資訊，沒有把自身列在書裡；而另一些目錄書把它自身也列在書裡。
但是這些目錄書是如此之多，我們還需要製作目錄書的目錄書。我們可以編兩本大目錄書，一本列出所有包含自身的目錄書，另一本是列出所有不包含自身的目錄書。
那麼，那本列出所有不包含自身的目錄書的大目錄書，是否應該把自己列進來呢？
如果它不把自己列進來，那麼它就是一本不包含自身的目錄書，根據那兩本大目錄書的編排，它就應該納入到所有不包含自身的目錄書一起來。
但是如果它把自己列進來了，它就是一本包含了自身的目錄書，根據那兩本大目錄書的編排，它就不應該被編入進來。
走不出來的邏輯死迴圈。。。。
5樓：
此悖論不成立。或者說悖論不成立。不存在悖論。
悖論一般是自我矛盾，既然是矛盾，那就是錯的。
具體我說不出所以然，只是認為悖論不存在，預感時間可以證明。如果錯了，打臉無所謂。此處隻錶觀點。
6樓：王樂
我的回答只是求教。
我之前在知乎上和人辯論裡面涉及羅素悖論問題。當時居然被說服了，後來想想了老覺著哪不對。
我覺得羅素悖論在某些層面上不太被哲學家認可。我理解因為羅素實際上避開了主體判斷，直接用數學集合代替了概念判斷。比如你家的汽車換了個輪胎，這車還是不是原來那輛車。
按照集合理論，這已經是另外乙個集合另外一輛車了。但這輛車還仍然是原來那輛著，這個判斷來自於主體的判斷。而這才是悖論中最有意義的地方，即你在不同角度，且都可以成立。
我自己的觀點是比較認同黑格爾和馬克思的。我認為悖論本身並不是數學問題，而是矛盾問題。比如乙隻蝌蚪變成乙隻青蛙，在這個過程中，蝌蚪慢慢會有青蛙的形態，但蝌蚪自身的形態沒有褪去，在這時你用蝌蚪和青蛙的概念來形容當前形態都合適，也都不合適。
還有，比如十年前的你和現在的你是不是乙個人這樣的問題都在說明，事物自身的矛盾性是我們認知出現悖論的原因。
我在此只是藉著題主的問題求教各位大神，不要跑來噴我不懂。就事論事就好。
7樓：紫氣secret
沒有其他答主說的那麼麻煩。歸根結底就是羅素悖論說明對於「這句話是錯的」這類命題，反證法是不靠譜的。具體推導如下
假設「這句話是錯的」是對的，那麼說明這句話（命題本身）是錯的，即「這句話是錯的」是錯的，與假設矛盾，所以這句話是錯的。
但如果你假設「這句話是錯的」是錯的，那麼又會得到這句話（命題本身）是對的，與假設矛盾，所以這句話是對的。
事實上，這個命題是無法判定對錯的，本身就是有問題的。但是用反證法的話，你似乎可以得到乙個假性的結果。
因此羅素悖論這類命題的存在對反證法正確性構成了致命威脅。也即存在一些無法判定的命題，這些命題不能使用反證法進行判斷。但你又無法證明數學學科中的一些重要命題不是這類無法判定的命題。
所以說羅素悖論動搖了數學大廈也不為過（除非所有人只用構造證明，不用反證法）。
8樓：蘭博克爾
先看通俗的理髮師悖論吧，理髮師說：「我只給所有不給自己理髮的人理髮。」假如他給自己理髮，按照他的話他就不應該給自己理髮。假如他不給自己理髮，按照他的話他就應該給自己理髮。
為什麼會有這樣的悖論出現？很矛盾。
其實關鍵點是不等勢，理髮師說的話的勢不能完全覆蓋理髮師本身的勢。就像是，乙個計算機系統裡顯示了一句話，「計算機系統完全崩潰。」如果這句話為真，計算機系統應該完全崩潰，那麼這句話就不應該被顯現。
所以這句話只能為假，那麼計算機系統完全崩潰沒，沒有，至少顯示這句話的功能系統沒有崩潰。所以「計算機系統完全崩潰」這句話的勢低於計算機系統本身的勢。乙個是事實表達出來的勢，乙個是語言系統對事情描述的勢。
兩者必然不等勢。
回過頭看理髮師悖論，理髮師說：「我只給所有不給自己理髮的人理髮。」其中這句話「我只給所有不給自己理髮的人理髮。」的勢低於理髮師所具有的勢。
理髮師的勢是一種判斷，也就是我可以判斷給或者不給自己理髮。而理髮師說的話的勢是一種陳述，也就是「我只給所有不給自己理髮的人理髮」本質上只能是一種陳述，而不能是判斷。如果這句話是判斷就與理髮師的勢相等了，相等會出現等勢邏輯錯誤。
關鍵點在於，所有人都會將這句話認為是判斷，那麼就出現了等勢邏輯錯誤。
什麼叫等勢邏輯錯誤，這需要從乙個事情上面展現，如果你是一台球形照相機，承諾你照相的角度無限廣闊，那麼你能不能拍到某一刻完整的你。一看到照相角度無限廣闊，有人就該想，這肯定能啊，無限廣闊還拍不到自己嗎？答案是即使無限廣闊的角度至少有乙個點不在照相範圍，哪乙個點呢，照相機光的發出和光的接收在同一點的那乙個點，也就是光必須被發出才能被接收記錄，光如果不被發出，無論怎樣處理這一點都不會被記錄。
而接收點與發出點在同一點，也就是說光必須不被發出。所以出現等勢邏輯錯誤。如果是用攝像機舉例則是某一刻至少有乙個點不在攝影範圍之內。
一段錄影至少有乙個動點構成的線不在攝影範圍之內。
而羅素悖論包括理髮師悖論，以及我這句話是假話，沒有真理是絕對真理。都是同樣的邏輯錯誤，等勢邏輯錯誤。
陳述句的勢要低於判斷句的勢。
主體承載內容的勢要低於主體的勢。
否則都會出現等勢邏輯錯誤。
9樓：mystique
給個通俗點的理解。「原子A」（集合）包含質子P、中子N和電子e（由這些元素組成原子）。集合A=
那麼這個集合能否包含自己呢？很明顯，不能。原子是由更基本的質子中子電子組成的，而不是由原子組成的。
那麼能否定義乙個集合A，包含原子A集合、質子、中子、電子呢？可以。但是這樣的集合A就不是之前的「原子A集合」了。
羅素說的就是要分層，由更高的「集合A」來包含「原子A集合」，而不能由「原子A集合」包含「原子A集合」本身。
至於理髮師悖論，可以理解為，不給自己理髮的人是虛數 i，理髮師不給自己理髮的時候也是虛數 i。當理髮師給其他 i 理髮時，其他人變成了-1。如果虛數理髮師能夠成功給自己理髮，自己也會變成-1。
但是如果理髮師變成-1，就不能使虛數理髮師變成-1。也就是說理髮師如果成功給自己理髮，那理髮師就不再是原來的理髮師了。理髮師不能既是虛數 i，又是-1。
10樓：李怡
小城裡的理髮師放出豪言：他只為，而且一定要為，城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子。但問題是：
理髮師該為自己刮鬍子嗎？如果他為自己刮鬍子，那麼按照他的豪言「只為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他不應該為自己刮鬍子；但如果他不為自己刮鬍子，同樣按照他的豪言「一定要為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他又應該為自己刮鬍子。
這個通俗化例子是不是有個明顯錯誤：
如果他為自己刮鬍子，那麼按照他的豪言「只為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他不應該為自己刮鬍子； —— 此處的」不應該「 是否該改成」不可以「。理髮師發表豪言前為自己刮過鬍子，發表後，就不可以給自己刮了。你管他應該不應該幹嘛呢？
這樣就毫無悖論可言了。
11樓：劉水清
羅素作為乙個哲學家不是很成功。他寫的《西方哲學史》最好不用看。因為並沒有抓住西方哲學的本質。
不過，羅素在數學領域還是有些建樹，尤其在數理邏輯方面。他和懷特海企圖建立數學公理。可是，哥德爾從理論上證明，數學公理並不可靠。
康德說：理論理性包括理性邏輯部分和理性先念部分。我把它分為四個方面的內容，這就是：
假設，規定，質疑，審辨。有些數學家側重理性邏輯方面的工作，有些數學家側重於康德所謂的＂先念部分＂，記得有乙個數學家譏笑專注於數理邏輯的工作，稱他們為＂邏輯的伐木工＂。即便是側重於＂先念部分的數學家也有分別。
比如牛頓和笛卡兒。牛頓側重於假設和規定，側重於實在的通式（理念）工作，而笛卡兒則側重於質疑和審辯，再給予規定。他們都是理論理性邏輯思維的高手，有卓越創造性的行家，我更看重笛卡兒的理性思維方式，他提出的空間廣延性概念，極具深遠歷史意義，相對論最後又回到了笛卡兒的時空廣延性。
羅素悖論到底怎麼解釋？
MAN 數分中所言不虛。羅素悖論的邏輯本質是，在乙個錯誤的前提下推導出的矛盾。這個前提就是 存在 所有集合的集合 這樣乙個集合。所有集合的集合 是可證不存在的。根據邏輯原理 前提錯誤，推理過程正確，則結論一定謬誤。或者 結論謬誤 悖論 若推理過程正確，則前提一定錯誤。 鴨梨大學 首先要回顧一下樸素集...
總是有人提出這樣那樣的悖論，真的是悖論嗎？
嗒小木 首先肯定題主一點 那種解釋是完全錯誤的。所謂悖論，一般指的是形式邏輯中不能自洽的部分。比如著名的 羅素悖論 其簡化版本是 這句話是假話 題主所說的問題，不是悖論而是 錯誤的證明 在處理這類問題時，我們應該把它 形式化 作為日常思考，我們可以不必非常嚴謹的形式化，重要的是把句子的意義搞明白。我...
羅素悖論 島上的理髮師不給替自己理過發的人理髮，問，理髮師給不給自己理髮？可不可以這樣解決？
左中右 我覺得這道題的正確提法應該是 島上的理髮師只給不給自己理髮的人理髮，如果他違背誓言，將失去理髮師資格，但同時他又必須為全島人理髮，包括他自己，否則也將失去理髮師資格，這個時候問，他該不該給自己理髮？建議題主按此描述修改題目，以避免非邏輯角度的回答，排除文字遊戲的可能性。羅素悖論雖然很難回答，...