1樓：龔sir
我給出了乙個簡潔證明。可以讓數學巨佬看懂以後，知道巨佬們的證明就是盲人摸象。證明過程非常簡捷，我認為是21世紀最偉大的智力成就。
2樓：
在一張地圖上，不考慮飛地，最少用四種顏色就能使每個相鄰區域的顏色互不相同。兩個區域只有有限個點相鄰不算相鄰，可以使用相同的顏色；而兩個區域有線段相鄰就算相鄰，不能用相同的顏色。
地圖上的每個區域都是互斥的；每乙個區域的邊界都由至少1條閉合線構成，這些閉合線分別稱為邊界1，邊界2……；每一條邊界與另一條沒有交集或交於1個點。
現在在地圖上任選一塊區域，稱為「選定區域」
如下圖1~3，包圍選定區域的區域的集合，稱為集合B，B可包含若干子集，分別與「選定區域」相交於，每個子集可包含若干區域；下面是屬於集合B的區域的篩選條件：
1.選出所有與選定區域（稱為區域a）相鄰的區域，稱為集合『步1』；
2.從第一步篩選出來的區域中，將Bi中的符合一定條件的區域稱作ci.j(j=1,2,…,n)，組成的集合稱之為集合C，排除集合C。
集合C的篩選條件是，去掉任何乙個ci後：1. a ci仍然只與集合B中的區域相鄰，不與不屬於B的區域相鄰；2.
ci.j所在的Bi子集所需要的顏色數不變。
找一張地圖或想象一下可以發現，對於任意一塊區域，它的所有相鄰情況可根據需要顏色數量歸納為1色、2色、3色、4色4種情況。
圖1圖2
圖3第一種：整個面空間只有乙個區域；
第二種：需要雙色
例子：1.每個子集Bi都只有乙個區域；2.
子集Bi是串聯結構：當子集Bi的區域數大於等於3時，每個區域與另外至少2個區域分別有1個或以上的有限個交點；當子集Bi的區域數是2時，每個區域與另乙個區域有至少2個或以上的有限個交點。
第三種：需要三色
例子：1.子集Bi是環狀結構：每個區域都與另外兩個區域相鄰。當區域數是大於等於2的偶數時，需要2色。
2.子集Bi是串聯鏈結構：至少有2個區域與另外至少1個區域是相鄰關係，而且至少有2個區域關係是有1個或以上的有限多個交點。
第四種：需要三色
1.子集Bi是環狀結構：每個區域都與另外兩個區域相鄰。當區域數是大於等於3的奇數時，需要3色。
第二、三、四種情況有很多出現集合C的變形，比如
這幅圖相對於上乙個圖多了區域5，區域5屬於集合C。區域5只能與集合B中的區域、區域a、集合C的其他區域相鄰。而且這張圖可以變形成上文的4種基本型的組合。
每乙個出現C集合的圖都可以看作沒有C集合的4種基本型的組合。
球面也滿足四色定理，準確來說，任何虧格為0的閉合立體表面都滿足四色定理。這個問題也可以更加形象地理解。
首先我們已知平面滿足四色定理，假如有乙個平面，我對著平面懟一拳，它變成了碗形；我再懟，它會變成試管形；然後將這個「試管」的管口縮小，它會變成像氣球一樣的形狀；最後把「氣球」口縮成乙個點，它就變成了球面。所以任何虧格為0的閉合立體表面都滿足四色定理。
再一次更新
「對於每個區域都是如此，那麼我可以猜測整個地圖只需要四種顏色就夠了」發現乙個漏洞：
對於每個區域都只需要2、3色的地圖可能需要3、4色。存在2個區域兩兩相連的圖可能需要3色，存在3個區域兩兩相連的圖可能需要4色，那麼存在4個區域兩兩相連的圖是否可能需要5色呢？這也是平面、球面無法形成5個區域兩兩相鄰的結構是平面、球面最多需要4色的必要不充分條件的原因。
但是上文提到的「環狀」結構需要1~3色，「串聯元素」結構需要1色，「串聯鏈」結構需要2色。環狀結構需要3種顏色的原因是首尾相連，如果兩個顏色交替填充，如果有3個及以上的區域，第乙個上色的區域與最後乙個上色的區域有衝突，所以只能形成兩個兩兩相連的區域也可能需要3色。下圖是兩個兩兩相連的環狀結構需要3色的情況。
3樓：七月的未濟湖
我總感覺四色定理是哥尼斯堡七橋問題的公升級版，我們似乎總是過多的在意乙個個相互接觸的平面封閉圖形了，而真正有用的要考慮的是圖形與圖形之間的接觸線，我覺得可以用窮舉法，即接觸線經過簡化後（這一步是關鍵），接觸線之間的連線方式應該是有限種的，儘管可能是幾百種，上千種，我不知道，然後把這有限種的接觸方式全部一一證明，也就證明了四色定理。
分割線以上是2023年3月7日的一次突發奇想，之後便被忘記，過了很久之後有人贊了我的回答並關注了我，我才又想起這個回答，這次又有新的想法。
在有限大的地圖中，一定能找到有限個交點，這個點可能與3個區域相交，也可能與4個或以上的區域相交，當點為3個區域的交點時，周圍3個區域必須是不同顏色，當點為4個區域的交點時，情況又不一樣了，這點周圍可以只有兩種顏色然後相間分布。那麼問題來了，5個區域又會是怎樣？5個區域又不能相間隔分布了，周圍必須得是至少3種的顏色。
由此可知，當點周圍有奇數個區域時，這個點周圍至少要有3種顏色，當點周圍有偶數個區域時，周圍至少有2種顏色且必須間隔分布。
我們可以形象地比喻，把奇數點叫賓士點，偶數點叫寶馬點，因為它們像賓士寶馬的車標的中心。
在多個奇數點和偶數點的互相影響下（這一步是關鍵）就使得總共需要的顏色不超過4個。
4樓：li2000
在證明三色不成立的前提下，四色定理等價於五個彼此相鄰的區域不存在。
下面做乙個等價的假設，用反證法證明。
這個假設成立的基礎是，圓代表區域的最基本因素：乙個閉合的二維空間（視為無窮小但不為點的區域）；把圓向某一方向延伸，成為矩形，矩形縮至無窮小，便成為了近似線，內部卻有空間的東西。所以，真正代表相鄰關係的是一條線段上的任意乙個點。
（方便理解，把線看作相鄰關係即可）
然後假設存在五個彼此相鄰的區域，使中間區域與周圍彼此相鄰（黑直線表示，只有這一種情況）
然後使右邊區域與其他區域彼此相鄰（紅線表示，相對而言只有一種情況）使下邊區域與其他區域相鄰，相對位置而言也只有一種情況可以看到，藍線與紅線交差了，代表兩個區域要有重疊的空間才能共線，因此不存在五個區域兩兩共邊的情況，四色命題得以解決。
表達能力不是太強，有模糊的地方，請諸位見諒。
5樓：
之前賣了波萌，再來秀波智商下限。
下面是智商下限。。。
答案：不存在。
乙個系統不能從內部證明自己。只能夠自洽，不能夠證明。
如果要證明四色定理，作為乙個特例，必須先證明滿足高讚回答中所謂perfect graph的條件，而且不談這樣的條件存在與否，假使有這樣條件存在，那麼，作為嚴謹的證明又必得先證明這樣的條件是正確的。而這又必得引出另乙個問題。
最終可能會引出乙個像平行線定理一樣的東西來，然後發現，哦，原來四色定理只是乙個特例而已，而且還無法證明。還只在特定情況下成立。放到其他條件下就變成了黎曼幾何和經典幾何一樣。。。
soover
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