1樓：很淡
對是對的，但是這題是引流的，讓你覺得你行的……不然怎麼把你騙過去殺呢？說白了就是這個題的難度跟你去了之後的難度比起來，不是乙個維度的…
2樓：辰迪數學
設正整數 滿足
證明: 是完全平方數.
本題出現在「數學奧林匹克命題人講座: 初等數論」, 4.2 勾股方程, 例 7.
若假設某兩個正整數 滿足 , 則令 , 則 將滿足本題條件, 於是根據本題結論,
是平方數. 這就證明了題主說的這道 IMO 試題!
本題是 IMO 的那道題的簡單推廣, 證明過程也相仿, 利用反證法和無窮遞降法即可. 這一解法是由保加利亞選手給出的, 那位選手因此獲得當屆 IMO 的特別獎. 此後,「無窮遞降法」也逐漸成了競賽中解決一系列不定方程的標準「套路」之一.
記 是不超過 的正整數. 考慮關於 的不定方程
顯然方程存在至少一組正整數解, 因為 就是一組解.
若 不是平方數, 設 就是這個方程的解 中滿足 最小的那一組正整數解. 不妨設 . 令 , 則上述方程變為關於 的二次方程
它顯然有一根 . 設另一根為 , 則由韋達 (Vieta) 定理知
於是 是整數, 且顯然不等於 (否則由 知 為平方數, 矛盾). 又由
0+1=1 \\" eeimg="1"/>
知 1-k \ge -c \Longrightarrow ba' > -1 \\" eeimg="1"/>
故 , 從而 . 又由前述知 , 故 0" eeimg="1"/>. 這表明 也是不定方程的正整數解. 由 的最小性,
即 . 但
矛盾! 故 必須是平方數.
3樓：
就像我個初一新生瞎做那個f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))一樣，上來直接deg，我想捶死我自己
有一些過程跳得很厲害，下面有人指出過了QwQ
4樓：TravorLZH
首先，我們擺出韋達定理：
定理（韋達定理）：設 為一元二次方程 的根，則有
且 既然工具都準備好了，我們就開始做題吧！
（1988 IMO Problem 6）設 且 ，求證 是完全平方[1]
證明：假如存在a和b使得c不是完全平方，則可以構造非空集合 使得 有c不是完全平方。根據良序原理（well-ordering principle），可知存在 使得 的值最小。
將 代入c的表示式，得：
現在考慮一元二次方程：
可知 是方程的其中乙個根。根據代數基本定理（fundamental theorem of algebra），可知本方程存在另乙個根 ，而我們可以通過利用韋達定理，得到兩者間的關係式：
在不失一般性的情況下，我們假設 b_0" eeimg="1"/>，則由於 和 均為整數， 是整數。因為c不是完全平方，所以 。假如 ，則：
0" eeimg="1"/>
因此 如同 和 均為正整數
現在根據(*)式，可知 ，意味著 。然而這與良序原理相悖，所以S必須是空集。因此對於所有滿足 的正整數a和b， 總是完全平方。
5樓：「已登出」
請問這些結論是怎麼得出來的？
恕我直言，從這裡往下的證明過程漏洞百出，很多時候寫了過程並不代表你把這道題做出來了，我就聽說過有人CMO偽證四道半，數學還是要嚴謹的。
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