1樓：閆雨煌
F(x)一般特指f(x)的原函式，在這裡應該使用g(x)。
在你的這個命題中，g(x) = f(x)·sin(f(x))中f(x)應該是任意函式，需要註明「對任意函式f(x)，構造g(x)=...」。
最後你的結論也沒看懂，我猜你是想說「當f(x) = g(x) ≠ 0時，f'(x) = g'(x)」。
所以你的命題的正確書寫形式應該是這樣：
命題：對任意函式f(x)，構造g(x) = f(x)·sin(f(x))，則有：
當f(x) = g(x) ≠ 0，f'(x) = g'(x)。
證明：根據g(x)的表示式，g'(x) = f'(x)·[sin(f(x)) + f(x)cos(f(x))]
當f(x) = g(x)，f(x) = f(x)·sin(f(x))
∵f(x) ≠ 0
∴sin(f(x)) = 1
∴cos(f(x)) = 0
此時g'(x) = f'(x)·(1 + f(x)·0) = f'(x)
證畢。該結論對f(x) = g(x) = 0不成立，反例：
f(x) = sin(x)，g(x) = sin(x)·sin(sin(x))
f'(x) = cos(x)，g'(x) = cos(x)·[cos(sin(x))·sin(x) + sin(sin(x))]
x = 0時，f(x) = g(x) = 0，f'(x) = 1，g'(x) = 0
f'(x) ≠ g'(x)
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