1樓：
不是我打擊你，高中生能想到的，要麼就是毫無意義的東西，要麼是別人幾百幾千年前就想到了，正真有價值的產出至少得等到學完大學本科的課程以後了。
2樓：走地鴨
這裡僅回答一下為什麼 不能用有理分式表達。
（分析方法）我們有 以及 若有多項式 使得 則由 可知 這與 矛盾。
（代數方法）若有互素多項式 使得 則有
即這對任意的正整數 都成立，因此，它是乙個多項式的恒等式， 是自變數。
由此， 或者
當 時， 由上式得 由於 互素，所以 反覆進行這個過程，可以得到 這與 是多項式矛盾。當 時同樣可以推出矛盾。
因此，滿足要求的互素多項式不存在。
3樓：TravorLZH
對這個結果做一些推廣，我們就得到了解析數論裡最常用的分部求和法（partial summation）了：
若 為某數列、 、f在區間[a,b]內具有連續一階導數，則：
把 和 就能得到：
其中 被稱為尤拉常數（Euler-Mascheroni constant）。
4樓：KeterXY
首先作為乙個高中生你真的已經很厲害了，你的公式也確實沒有錯。確實也有一定的幾何意義，雖然這個幾何意義說起來你可能自己都會笑。
用高中數學解釋這個公式的幾何意義為：
設f(x)在區間[1，n]上的面積為S，
設f(x)每個[i,i+1]（i∈[1,2,3,...,n-2,n-1]）上的面積分別為S1,S2,S3,....,Sn
則題主的公式的幾何意義可以表示為：
Σf(x)=S-Σ（Si-f(i)）=S-ΣSi+Σf(i)
顯然 "f(x)在區間[1,n]上的面積" 是與 "f(x)在每個[i,i+1]上的面積的和" 是相等的，也就是說S=ΣSi，所以樓主的公式可以化簡為Σf(x)=Σf(x),顯然是恆成立的。
所以樓主這個公式的思路理解起來大概就是將直接求f(x)變成求S-(S-f(x))了，至於S具體是什麼其實對等式的成立是沒有影響的，關鍵只是在於引入S能不能將計算過程簡化。
而題主引入的是f(x)在區間[1，n]上面積S，又通過面積可以切分的特性將這個面積S切分成n份（S1,S2,...,Sn），再將每乙份面積Si分別與f(i)結合起來求解了，如果要問Si和f(i)之間有什麼關係的話。。。我認為是沒有的，但是當S和Si-f(i)同時可求且相對比較好求的時候這個方法確實可能減少計算量。
至於為什麼1+1/2+1/3+...1/n是沒有乙個具體的表示式的這個問題（ln(n)+C並不是直接求出來的）這個問題，題主可以以後有時間了去研究一下發散級數求和，那是個很有意思的東西，當然還是期待題主能夠真的找到發散級數求和通式，我相信那個時候題主已經是菲爾茲獎得主，全球知名數學家了！
5樓：暮紫駿
先鼓勵下
任何定理，甚至是二級定理，推論等等的自主推導和發現對於高中生來說都是很棒的，真的太棒了
建議你可以整理定理發表一些，作為自主招生的資源。
再打擊你一下
這個東西並沒有什麼用，這點樓上都說了！
6樓：質點
其實你這個冪級數的求和法只是可以從積分想到的而已，並不是一定要從積分想到。比如，你可以直接利用(x+1)^3-x^3=3x+3x+1
我曾經利用積分的方法計算這個級數：Σ2^n*tan(2^n*x)，你可以試試
7樓：Richard Xu
實踐是檢驗真理的唯一標準…… @醬紫君
先算算不定積分
然後算不定積分
然後算還是能算的……
但是還是直接用差分比較容易啊………
（實際上我是用差分驗算的……）
8樓：zball
嗯你發現了有限積分的分部求和法則具體數學上也有看錯了劃掉
這還不是分步求和呢
不過如果對部分求和有興趣的話可以去看看euler maclaurin公式
我覺得具體數學是很很好的處理這類問題的入門數
9樓：靈劍
這個只能算是個技巧吧……它的應用侷限於f(x) - f(i)的表示式會更簡單的情況下，更簡單粗暴地來說基本就是f(x)是多項式的情況（經過差分次數會少一次），而處理多項式已經有很多任務具了。像x^2 * 2^x這種就並不會變簡單，所以用處也更有限一些。
也可以考慮進一步推廣，比如說積分變數可以和求和的變數不同：
估計這個式子可以處理x^2 * 2^x這樣的函式，不過可能效果也還是有限。
我們可以試試，令 ， ，
則各自用分部積分計算之後，因為 ，是個一次項，所以簡化了表示式，但是這個用Abel求和公式明顯會更簡單吧……
10樓：你好我叫做石宗宇
這個用幾何意義一下就可以推出來了啊
曲線下面積減去一部分不規則的面積等於底下的長方體的面積不過你高中的時候好厲害
我高中的時候都沒聽過什麼級數這些QAQ
11樓：沉潭Universe
我不太懂這些數學就是想鼓勵一下題主真的題主非常666 中國——全球——都會需要這樣的人的能夠自己發現公式並加以運用更nb的是題主是個高中生不管怎麼說我覺得題主是個人才大大的人才
12樓：ZKJU
這個公式當然是成立的，實際上把等式右邊第二項簡單展開整理一下就是右邊第一項減左邊。
雖然並沒有什麼用但是題主是高中生這種興趣和精神還是值得鼓勵的。
另外看到題主鼓搗這些，突然產生了一點點共鳴，想起來一句搞科研的至理名言...你覺得你idea很新，多半是因為你文獻看的不夠多...
13樓：公孫金童
我不是專業的，不敢說什麼，但還是想鼓勵題主，如果其他大神證明你的工作是有意義的，好好總結出篇文章是不錯的。如果有人抨擊了你，或者表達不屑一顧，你也不要灰心，虛心吸取有益建議，堅持下去，不斷思考，你要知道大多數人想你這個年齡的時候沒有思考那麼多呢。起碼你已經跑過了90%的人
14樓：
這個公式很直觀啊，你畫個圖一下子就看出來了。不過能在高中的時候自己去思考這些與考試無關的自己感興趣的東西是很值得讚揚的，中國教育挺缺題主這種人的，希望題主能一直堅持下去，做自己喜歡做的事
更新：抱歉之前沒有看完，沒有注意到樓主真正的疑問所在。
我個人是這樣理解的。
因為你這個等式本身是左右恒等的（不考慮不可積等特殊情況），也就是說不管什麼樣的f(x)，你的等式都是成立的，如果要是你現在的資訊只有f(x)和它的原函式F(x)，但並不知道它們具體形式是什麼，那你把F(x)和f(x)帶到你的等式裡化簡下去的結果一定是f(x)=f(x)，也就是你說的1=1形式。
那麼為什麼當f(x)取x^2時你愉快的解出來你希望的不帶求和符號的表示了呢？因為實際上你在化簡過程中用到了一些額外的資訊，比如將（x+1）^3展開等，這些額外資訊幫助你得到了另一種表示的恒等式，也就是我們常用的平方數列求和通項，這是因為你本身知道了多項式計算的一些性質。
對於1/x的求和，很遺憾，在目前定義的代數表示式下，還沒有辦法給出調和級數精確的求和通項，你是無法辦法找到解決該問題需要的「額外資訊」的
以上只是我個人粗淺的一些理解與解釋，並沒有給出形式化的證明，可能並不準確。
另外說句題外話，這裡強烈推薦一本書——前蘇聯數學大師辛欽的《數學分析八講》，這本書可以在先不過多考慮細節的情況下讓你對高等數學的很多思想有乙個直觀和全面的理解，包括什麼是連續，什麼是極限，函式，級數等等，可能這本書不會告訴你怎麼去解題，有些情況下，可能有人靠死記公式也能解不少題，但是真正的數學能力需要能夠透過現象看本質。而這本書一定程度上能夠幫助你從乙個更高的視角去看待問題的本質。有了整體概念之後再去研究細節往往能收到更好的效果。
相信LZ會一直保持著對數學的好奇心，去探索高等數學的大廈。
15樓：黎奧
1. 無窮項相加才叫級數，有限項的不叫;有限項相加成立的等式，對無窮項未必成立，除非你能證明級數收斂。所以，我並不覺得你的式子能解決什麼跟微積分有關的任何理論問題。
2.規範一點，請把公式左端sigma求和號下方改為 「x=1」。
3.利用定積分的可加性，很容易看出你的等式是成立的(簡單說，同乙個被積函式，從1到2的定積分，加上從2到3的積分，等於從1到3的積分；還有，x為積分變數、f(i)為被積函式時，f(i)相當於常數，被積函式的乙個原函式是xf(i))。你作為高中生，能寫成這個式子，我認為你還是很厲害的。
對於你的1+1/2+1/3+...+1/n+...的問題，簡單說的話就是「以1為首項、1/n為一般項的級數，是發散的」。
這個級數很有名，叫調和級數。證明它發散有很多方法，你簡單搜尋就能得到。
16樓：
前面的大神們寫的很充分了，我就補充點高數中和應試有關的東西吧。有乙個類似的定理，在給定單調且正項的情況下可以判斷級數斂散性。
17樓：
藍色曲線是 ,其與x軸圍成的部分自然就是
藍色柱體就是 了,寬度是1嘛...
所以 的幾何意義就是藍線與藍柱之間的面積之和了.
不單調的話也成立,不是有負面積這種東西嗎...就是不能有奇點...
原理就是積分降次嘛...不過離散微積分或者說差和分其實有專門的一套公式,可以去買一本《具體數學》看看.
我嘗試了一下用這個算數列
差點沒一口老血吐出來
然後還要求和... 2^i 怎麼辦,還得用這個方法再算一下???
我感覺除了把計算變複雜以外真的沒啥用...
至於會不會真的有什麼用呢,給你講個故事吧.
有一天尤拉很無聊,當然他一直很無聊...
於是他考慮了積分 和求和
然後做差,當然這時候已經不相等了,會多個餘項R其中: , 是伯努利數
注意到因此有:
這就是著名的尤拉-麥克勞林公式把積分寫在左邊的話可以用來數值計算定積分,求和寫在左邊就是吃飽了撐著...
但是後來拉馬努金考慮了推廣到連續的情形:
然後認為:
可以作為發散級數的和,也就是拉馬努金和...
這就是全體自然數之和的來歷:
發現了airpods的乙個奇怪的bug？
段段 剛剛試驗了一下 當我右耳是主耳時，捂住雙耳，兩個都有聲音 A 難道是我手小捂不嚴麼 遂用力捂住 之後左耳有大概兩秒鐘出現沒有聲音的症狀.不過馬上恢復過來了so.我也不知道要說什麼.大概是兩個耳機之間傳輸訊號的問題吧 你們在此之前大概是真的沒用過藍芽耳機吧。這就是藍芽訊號被阻擋了啊。AirPod...
最近我發現了男朋友乙個驚人的秘密，開始我很理解，可以慢慢的越來越承受不住了。他說他有性別認知障礙？
其實有時候愛情是互補的。總會有那麼乙個人會承擔起一切，有那麼乙個人會讓你無所畏懼，他可能在害怕一些東西吧，在逃避一些責任，或者說可能單純的就是不那麼合適吧，以後他可能很後悔，會成長，但是我估計你等不到那天了。有些只能是過客，哪怕是在一起3年，4年，甚至十年，上帝其實早有安排，那個更好的人在遠方。 我...
素數的乙個規律，請問是否已經發現了？
yukunlong 首先，文中提到的 這個係數是唯一的，無限的 裡面的 係數 指的是什麼？是關於Q的係數矩陣嗎？沒懂為什麼 唯一 無限 這兩種說法本身不衝突嗎？還有就是這個是小樣本，從這麼小的樣本中似乎也沒發現什麼規律啊。第二，也是文中提到的 可以準確計算素數個數 孿生素數個數以及素數對數個數 具體...