幾何平均數的空間意義是什麼啊？

1樓：Jack 龍

幾何平均數(geometric mean)，從名稱上來看，我非常贊同@成長的回答，有非常直觀的解釋，而且其中給出的相機的例子也非常容易理解，我感覺這樣的回答非常棒！！

此，僅僅給出自己在geometric mean中遇到的乙個問題：

如果有限維可以想象成低維度向高緯度的拓展，那麼到了無限維（可數或者不可數 countable or not），這個時候的幾何解釋又應該是什麼呢？例如：

0, a_n \rightarrow A (n \rightarrow \infty) ， then \quad b_n=(\prod_^a_n)^} \rightarrow A (n \rightarrow \infty)" eeimg="1"/>

這個結論中幾何平均關於可數積的極限，我們應該怎樣理解呢？

2樓：

只記得在電阻併聯求總電阻裡面有涉及到一點點幾何平均數。

求幾何平均數的公式如下：

求電阻的公式如下：

但單單知道電阻的公式跟幾何平均數有關聯似乎還不夠，我們來看看幾何平均數的影象吧

我們令a=1不變，變動b，取值0-1。因為當b大於a的時候，其效果跟a大於b的效果是正好反過來的，故不再概述。

我們看看幾何平均數是怎樣隨著b變動的

這是一幅線性變化的影象，隨著b逐漸達到1，其幾何平均數的增長率逐漸放緩。

但我們日常生活中，經常出現的是a與b的比例的變化。

當我們把兩個軸都取對數的時候，我們可以得到下面這張圖

這就很類似一張直線圖了，大概意思是，當b增長相應的倍數的時候，其算數平均數也增長相類似的倍數。

3樓：Corollary

簡單地說，我不知道……不過，反正是開放的問題，我就辯解幾句不知道的理由。

首先，顯而易見，三個正數的幾何平均無非是那個和它們構成的直平行多面體體積相等的立方體的稜長；若干個正數的幾何平均無非是高維的推廣。但是，也許作為對於題主描述的回應，我們立刻注意到一般高維的幾何平均是沒有尺規作圖的實現的。眾所周知，倍立方體問題是三大作圖不能問題之一。

從這個意義上說，假使我們要求證明的每一步都可以作圖完成（即古典意義上可構造），那麼尋求射影定理那樣的幾何解釋對一般的幾何平均來講是不可能的。

為幾何平均賦予一種意義或者解釋也許比想象中困難得多。一種可能的方式是利用對數函式把幾何平均的表示式轉化為算術平均，並且我們可以嘗試把取完對數的值理解為某些比如資訊量之類的東西。那樣的話，原先的幾何平均無非變成運用指數表示式和乘法對某種資訊量的統計期望作出的重新敘述。

這多少有些矯揉造作，然而不論如何，這至少意味著高維的幾何平均也許更可能具有某種統計解釋而不是幾何解釋。