1樓：江東
思考了一夜，終於想清楚了，看上面有用水面寫的例子，但是也沒大看明白，思維理解上不一樣吧 ，我也姑且用投石子做例子吧。
先看第一種情況，假設，我們在零點投下乙個石子，他會產生乙個波形，這個波形會持續到五點結束如圖
這個時候我們的投石子相當於乙個輸入的單位衝擊訊號。圖中t12345代表時間點，我們分別用h1,h2,......h5代表隨著時間，波形的大小。
也就是說這乙個零點的石子分別會在第1 2 3 4 5小時後產生對應的大小的波紋。
第二種情況，我們從零點開始，每小時都會投乙個石子，在一點的時候，我們同樣丟乙個石子這個時候，他自己會產生乙個h1大小的波紋，同時還有在0點的時候的那個石子產生的h2大小的波紋，兩者疊加。同樣，等到了三點的時候，會有，三點的石頭產生的h1和兩點的時候產生的h2，一點的時候產生的h3和零點的時候產生的h4。因為這個時候已經是三點了。
同時存在:零點的石子在3個小時之後的作用，一點的石子在兩個小時之後的作用，兩點的石子在乙個小時之後的作用，以及剛剛投下去的三點的石子的作用。也就是說實際輸出是這四個石子各自經過不同延時在當前時刻的對應的響應的疊加。
那麼也就也就很容易知道，公式中的t-τ實際就是這個延時時間。
因此第三種情況:假設我們原來投的是1的大小的石頭產生的響應波紋。現在我們在零點投放了乙個f0大小的石頭，由於是線性系統，那麼他在零點產生的產生的響應就是f0×h0，在一點的時候應該產生f0×h1,兩點產生f0×h2……那麼在一點的時候我們如果再投乙個f1大小的石頭，他會在一點產生乙個f1×h0，兩點產生f1×h1,三點產生f1×h2。
所以，實際就是剛才的一樣。如果用y代表第幾點的總響應可以表示為 yt = ∑ （ft×h（τ-t））。t-τ只是過去的衝擊，在當前時刻的響應的時間間隔。
當前的響應是現在的和過去的輸入經過各自相應的延遲時間到達現在，並產生的響應的疊加。由實際情況，演變到數學公式就成了先變數代換，再反轉這些難懂的理論。
2樓：自由的天空
下面的人都沒有理解卷積，把我寫的當聖經讀吧！
包括我原來大學的那個授課教師，後來碩士講高等光學那個教師是不是真理解了我也不太確定。不過我呢是真的理解卷積了。知呼很多關於卷積的問題我都懶得答了，就答你，因為你提到了「翻轉」。
如果畫畫圖理解了為什麼必須翻轉就懂了。圖我就不畫了，提示你兩點：1）卷積英文也許不能翻譯成卷積，不要去理解什麼中文卷！
2）卷積的內在本質內涵在於「 一切訊號傳播過程中
都要擴散、熵增加，影響有分布」，
所以呢乙個點的資訊以乙個函式分布擴散到另乙個空間去施加影響，
進來的源如果都以這種擴散方式（帶權的方式）在另一空間施加影響，那麼就進行
｛源＊擴散權函式｝的疊加積分運算，這就是卷積。
現實中，這種例子太多了，比如光譜系統。通俗點，相機上測得C1，C2，C3。。。。。訊號
入射光源A1，A2，A3，。。。。
光源每個點不可能不擴散地影響對應影響C1，C2，C3。。。。，
但如果各點都以同樣分布形式擴散到相機上，
於是有另一條權、分布、傳播 （怎麼叫都可以）得曲線B1，B2，B3.。。。。。
然後呢，比如C2測量點，可能A1對它有一點，A2再多一點，A3影響最大，A4突減影響（不要搞對稱）。。。。那麼你去畫一畫吧！！
你自己隨便去畫一下，注意故意把權函式畫得不要左右對稱，然後你明白為啥「翻」才對，為啥要平移，然後就懂了。當然，真實的系統你這個積分是有範圍的，要不怎麼理想光學的焦點有範圍，超出這個範圍後，也許那個權函式，B又該換一換了。
3樓：熊大
回答很豐富。只是從這個提問本身看來， 作者並不是不明白卷積，只是要想知道為什麼要先翻轉，再延時分兩步，而不是直接寫成 g(x-τ) ，就是說，為什麼要 「翻轉」？
最近正好在教 DSP，我覺得是不是可以這麼理解:
為什麼要翻轉？ 如果有乙個系統黑盒子響應為 h[n]， 輸入訊號是x[n].
我們正常畫出來的輸入訊號 x[n] 在時間軸 / X 軸 ，時間是從左向右增大的 x[0] x[1] x[2] x[3] 。 （當然，系統響應 h[n] 本身的時間軸也是從左到右）
習慣來講，畫框圖一般畫成訊號從左邊輸入， 結果右邊輸出。 但是如果把訊號 x[n] 輸入系統的過程看成乙個個數字排隊進去 。
我們當然不能把 " x[0] x[1] x[2] x[3] " 按照現在x 軸的現有順序平移過去進入盒子.
那樣的話進入系統的順序不就變成 x[3] 先進，然後 x[2] x[1] .. 了麼？
按照進入系統的先後順序看， 把x[n] 左右掉轉，才是正確的插入順序。所以「翻轉」 似乎是順理成章的事情？
4樓：F16無敵
有f(a),g(b)
因為a=c-b，所以翻轉b並移動c剛好把所有b點移動到c-b即a點。於是a,b座標對齊。
這實際上就是一種自變數加法，即：a+b=c的幾何實現。
完成了這個，卷積就很好理解了。甚至可以取消這個概念：在自變數相加的基礎上，可以實現卷差，卷商，卷和等等。
不過，我其實是不太承認乘法的。我始終認為，乘法不應該出現在數學的第一語言中。
5樓：陳磊
從意圖上來說，卷積就是從0到T的乙個定積分，只是在累積的過程中，原函式本身被乙個外部規律在變換著。這裡的問題是，乙個規律，被另乙個規律影響，有多種數學關係可以表達，為什麼這裡偏偏簡單的選用了乘法，如果改成加法，比如∫(f(t) + g(T-t))dt表示什麼意義，我在看這邊文章乘法的本質是什麼？ - 數學
6樓：
同意 @中微子的回答，這個「翻轉」的概念是由於參考係轉換了引起來的。我認為這個 「反轉」 是乙個很自然的過程，不算是整個卷積的核心。 我的部落格有一篇對這個卷積公式比較直觀的理解，題主有興趣可以看看：
我對卷積的理解
7樓：陳子服
發表一下淺見，請大家批評指正。
翻轉並不是本質，更多地是為了便於計算，例如這個例子：
Example of 2D Convolution通過翻轉，然後平移，最後求出卷積後的值，而不是直接使用卷積計算公式求值。
@losuital
@何忱遠 都說得很好，如果要強行從「翻轉」的角度去理解卷積，太不自然了，通過「延遲後疊加」的角度來理解就自然得多：中的減號不再是「翻轉」的意思，而是通過來表示一段時延（或者說，距離）。
（在另外乙個答案中我闡述了一下對卷積的理解：怎樣通俗易懂地解釋卷積？ - 陳子服的回答）
8樓：趙易明
未來發生的因x，不會影響當前及以前的果y。就這麼簡單:).
符合因果關係，即前因引起後果, 所有前因決定了當前的果。 反應在數學表示式上就是: y(t) = ∫x(t-τ)h(τ)dτ 或者 y(m) = ∑x(m-n)h(n)
9樓：
看成翻轉會非常難以理解，下面是我在另外乙個問題下的回答。
怎樣通俗易懂地解釋卷積？ - 知乎使用者的回答
最近在看Feedback Control of Dynamic Systems，趁此機會複習了一下卷積。
先看下圖，左邊是輸入訊號，右邊是輸出訊號：
(a)中，輸入訊號p(t)經過系統後得到輸出訊號h(t)；
(b)中，輸入訊號較之於(a)延遲了τ，表示為p(t-τ)，由於是LTI（線性時不變系統），輸出訊號也延遲τ，變為h(t-τ)；
(c)、(d)兩圖闡釋了LTI的疊加原理：若以p(t)+p(t-τ)為輸入，則輸出為h(t)+h(t-τ)；
假設現在有乙個輸入訊號u(t)，將其表示為若干個我們剛剛見過的p(t)的疊加
那麼u(t)通過上文的系統後，會得到什麼呢？
假設可得y(t)，根據疊加原理：
但我們仍有一些不太滿意的地方，用p(t)表示的u(t)並不是精確的u(t)啊，那些小長條的面積比u(t)的面積可少了不少呢。除非Δ盡可能的小，長條盡可能的窄。
誒，這不就是積分麼？
所以：這就是卷積，與其理解成翻轉，不如理解成延遲後疊加。
10樓：一靈
不是其中的乙個！
鏡子？我「是怎麼樣的」「乙個」宗教徒
我—和—你—心—連—心—身—住—地球村……為—夢—想—去—遠—行—考—試—一家親……（2090備）這是愛嗎
緊握的雙手冷不冷直到世界盡頭只剩我們
就算在冰天雪地的人間遺失身份
彷佛心癮無窮無底
耗盡氣力去拔河
但我享受這折磨
但沒能夠
一想起你如此精細其他的一切沒一種矜貴
11樓：銀toki
這個問題我以前也是一直不太能理解，也看了很多解釋，包括著名的血腥講解：關於卷積的乙個血腥的講解，看完給跪了，還是覺得不夠直觀，最近終於略有心得，整理一下發上來以供參考。
我的例子也比較暴力，只是把問題離散化，看起來更直觀一些：
首先，小明的一生，不考慮其他因素，只考慮他一生中捱過幾個巴掌，設為乙個離散函式f(t):
我們假設t為時間，那麼由上面的函式可以看出小明在t=3的時刻挨了一巴掌；
其次，我們考察一般人猛的挨一巴掌的效果，第一反應大概是暈，然後反應過來覺得臥槽好疼，然後過一會兒腫了，那我們把這個效果也寫成乙個與時間t相關的函式g(x):
那麼問題來了，知道了小明的一生，知道了挨巴掌的效果，那麼怎麼求小明一生中挨巴掌後的效果呢？我們設其為h(x)，套用卷積公式：
由於f(t)在除了t=3的時候，值都為0，於是上個式子可以化簡為：
容易求出結果：
顯然，小明被打後效果也是->暈，疼，腫...
那麼假如卷積公式不做x-t翻轉呢？
結果卻是這樣：
完全與實際情況顛倒了過來~
對於小明挨了多次打的效果，還有連續函式，道理也是相同，只是推導起來就略微複雜，看起來也沒這麼直觀，就不羅列公式了。
12樓：耘非
純粹為了自己好理解，我在這mark一下。我看了幾個回答，然後綜合了一下，得到了自己最容易理解的答案。
h是系統輸入單位衝激函式時的輸出（即單位脈衝響應），這個響應隨時間變化而變化，他本質上反映的是系統對輸入做出的反應的特性的變化。要求某時刻的輸出，肯定要把以前的輸入對該時刻產生的影響疊加起來。比如說y（4），就x（4）來說，系統對他的反應沒有因為時間而產生變化，因為這個訊號剛剛輸入到系統中，系統給他的反應特性是最原始的h（0）。
最開始的輸入是x（0），這個輸入訊號經過四秒對y（4），產生了影響，這時h已經變成了h（4）。同樣，x（1）經過3秒才對x（4）產生影響，單位脈衝響應h（3）以此類推。（所有的訊號剛輸入時，系統給的反應特性都是最原始的h（0））
2023年你的其中乙個願望是什麼？
Jackson Yee 2019年的願望沒有實現 我還在努力 我不能半途而廢，心中有夢就應該去拼啊 2020希望夢想成真 希望今年六月份拿到心儀大學的錄取通知書 然後一切順利 木槿 我有很多願望，有發財的願望，有家庭幸福的願望，有家裡人平平安安的願望等等很多很多的願望，但老天爺好像就喜歡跟我開玩笑似...
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Roc啊 軟體真的不難學，一通百通，關鍵是你想要的效果能靈活應用你的所學。PS的話看你工作範圍了，他的強大在於你可能一生也只能用到它最多30 的功能。你可以在B站上搜 Photoshop極速上手系列，正在更新中. 楊小駝駝 軟體操作是完全沒有問題的，像是ps 做出乙個效果可以用各種不一樣的工具，各種...
動漫裡對話結束後，為什麼要特意給其中乙個人表情特寫？
江丹陽 突出主次地位，凸顯人物性格，承接對話內容並舒緩或增加氣氛，增強場面效果，更直觀的描寫心理，有時增加觀賞性，一舉114514得 晨塵 是為了更全方位的表現人物，不僅僅侷限於說話者，反映對話內容對動漫中眾人造成的影響，如果沒有這些畫面，局外人的我們就不能全面的了解劇中人物的反應 雖然這樣能了解的...