1樓：芷雨Chira
我們來證明
，即 ,
證明：由於 ，所以
由於 ,於是 在 上有界，知 0,s.t.\\&\left| f(-\frac})+f(\frac}) \right|\leq\left| f(-\frac}) \right|+\left| f(\frac}) \right|\leq M+M=2M \end" eeimg="1"/>,
，而後者在 上可積（因為 ）,
又 ，由控制收斂定理得,即，
所以 ,因而
2樓：
0,\exists\delta>0,\forall x\in(-\delta,\delta),\vert f(x)-f(0)\vert<\epsilon" eeimg="1"/>且 0,\forall x\in(-1,1),\vert f(x)-f(0)\vert所以
用到估計：
以及\delta}(1-t^2)^n\vert f(x)-f(0)\vert\text dx\\\delta}(1-t^2)^n\text dx\\ <2M\sup_(1-t^2)=2M(1-\delta^2)^n }" eeimg="1"/>
以及\int_^(1-t^2)^n>2\delta'(1-\epsilon')^n }" eeimg="1"/>
（由0,\exists\delta'>0,\inf_(1-t^2)>1-\epsilon' }" eeimg="1"/>
可得所需的存在性）
從而0,\varlimsup_\left\vert\frac^1(1-t^2)^nf(x)\text dx}^1(1-t^2)^n\text dx}-f(0)\right\vert<\epsilon\\ \Rightarrow\varlimsup_\left\vert\frac^1(1-t^2)^nf(x)\text dx}^1(1-t^2)^n\text dx}-f(0)\right\vert=0\\\text\frac^1(1-t^2)^nf(x)\text dx}^1(1-t^2)^n\text dx}\to f(0) }" eeimg="1"/>
由於證明僅（在引用線註明的估計部分）用到 的性質，即滿足 0,\sup_g(t)<\varliminf_g(t)" eeimg="1"/>所以 換成其他滿足這一性質的函式結論仍成立。