1樓：Mathis Wang
對於不全為奇數的正整數 v" eeimg="1"/>，且 ，直接驗證可知 是勾股數。
證明 . 用反證法，假設 ，則存在素數 使得 ，由 推出三種情況：
情形1: . 由 知 一定同奇偶，但由條件 得 不全為偶數，又由條件 不全為奇數，得矛盾。
情形2: . 結合 可得 ，從而 ，因此 且 ，與 矛盾；
情形3: . 同情形2也得到矛盾。
設 是一組素勾股數，也就是滿足 且 .
兩邊同時除以 可得
因此 是單位圓上的有理點。
考慮 與 決定的直線，斜率 為有理數。
直線方程為 ，與單位圓方程 聯立可得
方程的判別式
可用斜率表示出 .
因此存在有理數 ，其中 為互素的正整數
設 為有理數， 既約，則有
由於 互素，因此 整除 ，可得
由於 ，因此 且 ，也就是
.有兩種情況：
(1) 一奇一偶，從第一部分的證明知道 ，因此有 .
(2) 都是奇數，因為 ， 除 之外沒有別的公因數，可記 ，引入， ，一定有 .
.由 均為奇數，可得 ，且 一奇一偶.
把 代入化簡可得
由第一部分的證明知道 ，同(1)可得.
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