1樓：233
lim(x→1) (1-x)*tan((π/2)*x)變數替換y=x-1
=lim(y→0) -y*tan(π/2+(π/2)*y)=lim(y→0) -y*sin(π/2+(π/2)*y)/cos(π/2+(π/2)*y)
=lim(y→0) (cos((π/2)*y)/(sin((π/2)*y)/y)
=(lim(y→0) cos((π/2)*y))/(lim(y→0) sin((π/2)*y)/y)
=1/(lim(y→0) sin((π/2)*y)/y)=1/(π/2)
下面證明
lim(x→0) sinx/x=1
由於sinx、x是奇函式，不妨考慮x＞0的情況熟知sinx＜x
tanx＞x
於是有sinx/x＜1
sinx/x＞cosx
由夾逼定理得lim(x→0) sinx/x=1下面證明
lim(x→0) cosx=1
對任意ε＞0，取δ=sqrt(2ε)
則當0＜|x|＜δ時
我們有|cosx-1|
=|cos(x/2+x/2)-cos(x/2-x/2)|=|-2sin(x/2)sin(x/2)|＜x/2＜δ/2=ε
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