1樓：皮皮桌
微分幾何的兩種角度，heat kernel漸進展開，由此可以得出atiyah singer指標的證明（可以看bismut統計方法證明指標定理的文章）。還有就是li yau不等式，類似於梯度估計，主要就是橢圓方程往拋物上面做那種
2樓：dhchen
回答當然可以的。
事實上，我一開始學習拋物型方程的理論的時候完全就是不借助什麼隨機過程的，現在主要依靠的工具也是泛函分析的思路。理解拋物型PDEs可以看成是理解一種運算元半群。
也就是對於 , 我們構造一類運算元 （這是形式表達，不要糾結運算元 能不能用指數函式求復合）, 對於每個 往往是某個banach空間 上的運算元，在我們問題中是 空間。並且，對於任意 , 恰好就是方程
這也暗含了這類運算元必須滿足這兩條性質：
對於我們關心的拋物型方程，運算元一般可以把 對映到 中，根據Dunford積分核表示定理，我們可以找到可積函式 使得
然後，運算元 的性質和 當然是息息相關的。比如 是個正運算元當且僅當 . 研究它的性質，主要研究的主要研究是這個核的上下估計, 類似於
這個估計很重要，利用它可以得到運算元 的譜性質，一般能夠證明 . 當然了，在係數對稱的某些情況下可以證明 .
具體的情況你可以參考Heat kernels and spectral theory這本書，這是這方面比較經典的專著了。
被扔到地球上隨機乙個地方，在不借助現代科技的條件下（可以理解為赤條條），如何確定自己的位置？
我來偏個題，推薦個遊戲體驗一下 geoguessr.com 的頁面 這個遊戲呢會把你隨機丟到地球上的任意乙個地方，並給你當地的google街景 所以肯定沒中國 你要通過周圍環境裡的資訊猜測自己在哪個地方，並在地圖上做出標記進行猜測。PS 植物 人物 建築風格都是很好的切入點，最好用的是高速路上的路標...
哪些運動可以不借助器械並且適合在室內進行？
蝦爺Marvin 減脂效果好的話絕對是Insanity了，我31歲，174cm,花了三個月時間從75kg減到60kg,瘦了30斤，決不誇張！ 蕭桐 練上腹肌，平板支撐，可以從30秒開始練根據自身情況一天天加。我每週三次，每次加10秒，現在練到4分40秒，感覺超有成就感，也很鍛鍊意志力呢 上圖練下腹肌...
只憑單手不借助外物需達成怎麼樣的條件可以將蚊子拍死？
首先在角落提前準備一盆靜水，曬出水藻的最佳。放過那個吸你血的蚊子，然後封閉門窗，等蚊子找水產卵，剩下的就不用說了，愛怎麼玩怎麼玩，這局是活活餓死。PS 一般先孵化出來的是雄蚊子 不吸血 雌蚊子後孵化。 伍宋仁 我簡單地說一下吧，其實根本不用單手！這招由來已久，當年的黃蓉她老爸叫什麼來著 不是，是我爸...