1樓：說愁客
有乙個經典的例子：自由群的子群還是自由群。
每乙個自由群G，都對應乙個圖的基本群。而G的子群則對應這個圖的某乙個覆疊空間的基本群。而圖的覆疊空間還只能是圖，所以這個子群也是個自由群。
2樓：熊貓桑
其實我覺得費馬大定理應該算吧？
另外偏幾何領域的，有限生成定理肯定算吧。雖然那個有純代數的證明，不過我個人覺得幾何證明更好。就我個人的口味，我可能希望乙個幾何學+組合數學的證明最賞心悅目。
有限生成定理的純交換代數表述：特徵0代數閉域上的正則射影簇上的典範環是有限生成的。
3樓：Xipan Xiao
偶爾碰到乙個，寫下來供大家娛樂一下。這幾個例子都算不上解答，而是簡單的介紹算術/代數和拓撲/幾何之間的一些看似不明顯的聯絡。
大家知道如果兩個整數 互素，也就是 ，那麼由算術基本定理（整數環的唯一分解），這倆沒有公共素因子，所以各自自乘若干次之後，他們還是沒有公共素因子，從而他們的正整數次冪還是互素的： 。或者由Bezout等式 ，兩邊同時取 次冪，就得到 ，再取 次冪，就得到 ，一樣可以得到互素。
然而這個簡單的（算術）事實也可以有幾何意義。我們先模擬乙個簡單且不平凡的例子。設 是乙個代數閉域。
任意二元多項式 ，令 是拓撲空間上挖掉 定義的閉集之後剩下的開集：比如取 是 上的單位圓，就是它挖掉跟 軸的交點剩下的兩段（藍綠）開圓弧， 是挖掉 軸後剩下的（紅黃）開集。顯然 被這倆開集覆蓋：
。因為 ，所以。這樣就有
。那麼這事兒跟前面那個整數互素有啥關係呢？我們先把上面這個幾何上開集覆蓋的事實，用代數語言翻譯一下，做乙個幾何和代數上的對應。首先，拓撲空間 對應到它上面的函式環，也就是記
是 上的多項式函式環（兩個多項式如果相差 的倍數，則它們對應 上同乙個函式，所以這裡取的是商環裡的等價類）。 上的點一一對應 的極大理想： ，那麼 就是乙個極大理想，反之亦然。
而 這個幾何事實，代數上對應了 和 生成的理想包含整個環這件事：
。這是因為若 ，它就是乙個極大理想。但是它對應的點 不在單位圓上。
這個矛盾說明 。當然也可以直接證明：比如讓 就得到Bezout等式 。
這時我們也說， 在環 內互素。類似的，在上述Bezout等式兩邊取冪，我們也能得到
。看著很相似是不是！下面我們更進一步，設 是倆素數。取 是兩個點的離散拓撲空間，對每個整數 ，定義 在這兩點上的「取值」為：
比如若 ， 。那麼 ， 。這樣整數環 就充當了 上的多項式函式環 的角色，但是如果兩個」多項式「相差 的倍數，則它們對應 上同乙個函式，所以實際上這裡的函式環 是模 的同餘類環：
。現在假設 互素，所以 不能同時整除，也就是 不能同時是 的零點。從而 。同樣 ，這樣我們得到
。類似的， ，從而他們同樣覆蓋全空間，對應了 這個代數關係。
到這裡我們在素數（素理想）上建立起來了一種拓撲空間，我們還可以做更多一點事情。還以 為例子，我們知道，由中國剩餘定理，同餘方程組
在模 的同餘類 中有唯一解。用我們剛才建立起來的拓撲空間的語言，這是說如果我們知道了函式 在 的所有兩個點上的值， 就被唯一確定了——這不是廢話呢不是！
當擴充套件到多個素數的情形，中國剩餘定理（以及上面的互素關係式）依然成立。如果用這裡的函式語言來陳述，那會是很自然的事情——函式 和 具有相同的零點， 的值由它在所有點上的值決定。
上面這幾個簡單的例子，都來自於環上譜空間的概念。當然這裡的介紹是非常粗糙的，有興趣的同學可以找材料進一步看看。
4樓：
乙個commutative ring的所有prime ideals的intersection是這個ring的nilradical
5樓：
能不能說我自己的工作？
目的是證明兩個範疇不等價，假設他們等價，那麼從這兩個範疇裡構造出來的模空間必須同構，通過具體研究這兩個模空間的幾何性質，發現這兩個模空間不一樣，從而證明兩個範疇不等價
6樓：
從Hatcher上抄的例子。
上有限維的可除代數，若是交換且含么的，那麼只有兩種可能：同構於 或 設該代數作為線性空間而言是 ，賦予歐氏拓撲，此時它的代數結構是乙個雙線性的連續對映。挖去零點後考慮對映
此時，由於 在 上任意乙個一維的線性子空間上，除零點外取定值，我們實際上得到連續對映
設 線性無關，我們證明
如若不然，有 ，換言之 線性相關，匯出矛盾。
由區域不變性定理（Invariance of Domain）， 是乙個嵌入，由於 緊而 Hausdorff，可知其像既開又閉，因此 實際上是同胚。
但當 2" eeimg="1"/>時， ，因此該代數作為線性空間只能是
取 ，由於 是同胚，存在 使得 ，因此，若考慮 ，則有 ，可見此時該代數同構於
特別地，還可以匯出代數基本定理：沒有非平凡的代數擴張。
否則，設 ， 存在 且它為 上代數元。此時 為 上有限維交換可除含么代數，因此 ，矛盾。
想起乙個貓老師教我的反例：設，三者均為-模，為含么交換環，若是自由模，問是否一定也自由？答案是否定的，反例非常奇妙。
設 為 上的光滑函式環。然後，考慮滿同態
於是有短正合列 ， 是上面那個滿同態的kernel
由於 是自由的，所以是投射的，所以上面的短正合列是split的，因此有
注意到，右側的 又可以表示成 在 上的normal bundle， 則是tangent bundle，假如 是自由的，那麼 ，但是，根據毛球定理， 上任意光滑切向量場都在某點為0，因此兩個光滑向量場一定不可能生成 ，匯出矛盾。於是得到反例。
7樓：
證明一下算術幾何均值不等式。取實數 ，考慮集合求S體積的方法是把S拆分成集合
注意到集合Sk的體積是 ，可得S的體積等於同時又有
因此也即
8樓：三千弱水
大部分初等幾何圖形只是方便理解記憶，還是要結合代數和分析嚴格證明
內接半圓上最大正方形面積是內接圓上最大正方形面積的2/5
9樓：totoroirikka
不知道阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》算不算，書中阿波羅尼斯用純幾何方法證明出了高中數學中有關圓錐曲線的全部性質。
現在都是用解析幾何(代數與幾何結合的產物)
代數幾何在數學以外的領域有哪些應用？
學校有門課叫 應用代數幾何 運用Grobner基啥的，把代數幾何知識遷移到CS和EE的很多問題上。比如一種ciphersystem叫代數幾何碼。又比如聚類問題https arxiv.org abs 1509.06729 鐘佑 代數幾何是研究多項式零點的。多項式曲面在CAD中設計曲面的時候應用很廣，所...
代數幾何學入門的必讀書籍有哪些值得推薦？
何史提 我從沒修過任何這方面的課，可是近年有看些computational topology，所以代數幾何也略知一二。如果你要我推薦，作為乙個小白，我會建議Zomoradian的 Topology for Computing 這題如果你願意搜的話會發現多年前就有人問過了。本著 新 回答的角度，入門的...
考科目三難免會緊張，有哪些好的方法來克服呢？
Mr.lin 考爆了，心態就好了。爆了心態就釋然了。以上是真實的哈，但是不建議這樣做，我已經後悔了。我科三是考爆了的 又從科一開始，而且是科一和科二一次就過了。6.10號我馬上又去科三了，這次學聰明先模擬了，之前考爆就是不想模擬費，結果是一次又一次的失敗，一些考場要整你沒交錢的 潛規則太多了不想說了...