1樓：大熊
代數可以分為以解方程為核心的古典代數和以研究結構為主的近世代數。對這個問題的解答就屬於近世代數的範圍，而大學裡僅有數學系物理系和電腦科學系會學近世代數，其他專業的學生都停留在古典代數上，所以會有此疑惑。
簡單說，我們理解的數域都是環。乙個環不嚴格的定義可以理解為：對加法封閉，對乘法封閉，且滿足乘法對加法的分配律。
整數是環，有理數是環，實數是環，複數也是環。當我們遇到新的運算，無法在原有數域內操作，就會引入新的數域。比如從整數出發，因除法引入有理數，因（正數）開方引入實數，因（負數）開方引入複數。
那麼能不能再引入乙個更大的數域讓除以0成為可能呢？
很遺憾，結論是不行，除以0會和環的定義衝突。也就是只要是環，就不可能通過擴大數域允許除以0。而如果不是環，在這個數域上很多現有的數學基礎都被推翻了，這個數域還有什麼用？
因此，除以0被定義為不允許的。
假設在某個環上允許定義1/0=j
那麼根據環的定義
0=j+(-j)=(1+(-1))j = 0j =1
推出矛盾
2樓：冬天裡的豬
數學是一門確定性的科學 ，而分母為0會導致不確定性，各位不要想多了。負數開方為什麼可以，因為它不影響運算，而且還能拓展數學，所以數學唯一的標準就是自洽。
3樓：thehand
這個問題不需要考慮太多吧。
大家希望除法對有理數集是封閉的。而乙個數除以0是什麼？大概只好假設它是無窮大，無窮大顯然不是乙個有理數，實際上無窮大根本不是乙個數對吧。所以只得規定無意義。
類似於減法對自然數不封閉一樣，開方這個運算對於實數也不封閉，最後是把實數擴充套件到複數域解決的。哪天真的數學又發展了，分母為0有意義了，也不是沒這個可能性。
4樓：charlary
其實所謂的沒意義這個詞，雖然小學老師就這麼告訴你，但是實際上其內容非常深邃。最本質的問題是你沒有辦法定義乙個自恰的a/0運算。換句話說a/0這種運算本身存在內秉的矛盾。
這個問題在高數裡面的解決方法是我們只考慮無窮小和無窮大的階並不考慮其具體的係數。
5樓：
「分母能不能為零」的問題其實不幼稚。
分母為零有木有意義，要看要求了。如果你想得到的是通常的數，能「正常」加減乘除運算的那種，對不起已經有很多人回答過了，不但這屆代數不可能，連這屆宇宙都不可能。這裡就不再贅述。
但如果弱化為可以做某些對映的「點」，那其實是可以實現的。實現的方式是射影空間，那些「分母為零」的「數」構成的東西，就是（相對於乙個仿射子空間的）無窮遠（點、線、…仿射子空間）。有回答提到的擴充復平面就是乙個特例（不過擴充復平面是復一維射影平面 ，想做成二維實射影平面，還少一條「無窮遠直線。
」）射影空間的構造過程，某種意義上來說確實是「解決了」分母為零的「問題」。不管你信不信，反正我是相信，它非常接近」允許分母為零「的操作了。如有興趣，現在來做表演看。
我們在初級寺廟裡面就被老和尚們教導說：平面兩條直線分兩種情況：香蕉和平行。平行那種情況，相當於定義兩條直線的方程無公共解。比如最簡單的這個二元二約束方程組
竟然都「沒有解」。
但是有一天，有個愚蠢的小和尚說，師傅我能找出來乙個解啊。點解啊？小和尚寫到：
所以有一組「解」：
老和尚說：分母為零，大逆不道！
小和尚被投入海中，卒。
許多年後，小和尚得到了平反。因為畫家們發現，他說得對!
被逼著畫過素描的人（比如我）知道，畫平行線的時候，根據透視原理平行線在畫面上要「裝作」交於一「無窮遠點」。儘管現實中不存在「無窮遠點」。
進一步的人們還發現，哪怕是以上平面情況，「無窮遠點」，還不夠。
怎麼描述呢？和尚們引入了乙個非常巧（玄）妙的辦法：齊次化座標。這是根據如下內容創作的：
小和尚的操作可以被修改如下：「假設」
那麼原來的方程「化為」
它有一組明顯的「解」：
而 只用滿足
即可。當然我們知道，這樣做是假的, 因為正常的數 不能做分母。但是，假戲還確實可以進一步的真做。為區分實數和複數情況，現統統簡化只考慮實數情況。
真實的做法是，將通常的仿射平面，擴充為射影平面，並認為兩條直線相交於「無窮遠點」，這點記作：
如果把方程組再改成
那麼他們交與另外乙個「無窮遠點」
這裡引入了一樣記號：
稱為齊次座標，其中的三個數為實數。而花招
稱為齊次化。後面還會提到，他有乙個佛經版本。
你可以姑且認為三元組，
確實表示了兩個「無窮大數」
但是這個齊次化座標表示的「數」和通常的數還有些不太一樣，例如前面已經「解出」，對任何 ,我們應當認為三元組
表示了同乙個「點」。而
確實是不同的點，畢竟那兩組直線都不平行。
所以齊次座標僅僅是乙個符號。此外還考慮到，我們本來是想要得到乙個「二維」的東西，現在用了三個量，肯定要再「消除」乙個多餘的維度。於是我們想到，「無窮遠點」是否相同，只要看相應「平行直線」，是否相同，這自然的得到一般情況。
為方便下標，將 對應於 ：要考慮所有 中的點：
並且規定如下等價關係：
當且僅當存在 ,使得
即直觀的來講，「平行直線「都交於同乙個」無窮遠點「。另外規定 是因為須排除迷向」點「：
否則所有點都等於迷向點，遊戲沒得玩了。
此外還有乙個問題：分母為零搞定了，分母不為零的情況，還好嗎?
依然沒問題。因為那些就是通常的點，只要取 ,此時
即依然正常的表示 中的點 。一般的由於我們規定了等價關係，如果 裡面「分母 」,那麼令
即可回到正常的世界的點 。這步逆操作稱為去齊次化。
把以上等價關係劃定的等價類
稱作（實）二維射影空間（平面）。更一般的用類似方法，
稱作（實）維射影空間。而為了區別，用方括號
代表相應的點（或等價類）。可以看到， 確實比 「多了」一些東西。 只是其中形如
的點，或者說，「分母 」不為零的點。而形如
的點，或者說分母 」為零「的點，在上，不能通過去齊次化「看到」，因為「跑」到無窮遠去了。
射影空間上的點，雖然不是通常的數，但還是可以做一些」運算「，否則空談構造而沒有實幹就是誤國。具體地說，加減乘都不能隨便亂做，但是，非零齊次多項式對映，是可以做的，原因很容易從等價關係看出。比如，
這種運算，是絕對不可以的，但是，下面這個整齊的齊次多項式對映
是乙個從 到 的對映，它就是可以的，稱作Segre 嵌入。
前面我們都是對」線性「物件做齊次化。進一步可以看到，不但對直線可以做，對多變數復多項式，也可以做齊次化。 比如
齊次化後化作了
然後」裝作「 ,把 乘上去消掉分母，化成了三元齊次多項式
於是在 維仿射空間裡面代表「代數集」的多項式，」化「成了 次齊次多項式。原先仿射空間裡代數方程組的解集，依然是相應齊次化多項式方程組的解集，對應了 維射影空間上的點，並且還利用射影空間「恰當」的新增上了」無窮遠處「的解。
早在十八、十九世紀， 人們就已經幹過這些事了。進一步的有Bezout定理:
次數分別為的兩個復齊次多項式，（在小心定義了香蕉重數之後）有 個交點。換而言之，兩個次數分別為的復射影代數曲線，總相交於 個點。
完美，媽媽再也不用擔心沒有交點了。
直觀的來看，把仿射空間進一步擴充，得到射影空間，確實是新增上了一些允許「分母為零」的點。這相當於做了一種完備化：「不存在」的點，硬加上去。
另外，這種完備化是代數（幾何）意義下的。如果只考慮拓撲意義下，那麼單點緊化就可以實現。但很可惜，如果要還能做代數操作，單點緊化不夠。
可以看到，這裡的齊次化操作相當初等，但是，它還有乙個佛經版本，叫做
吹脹（blow up）。
一般的吹脹構造，是作為極其重要的法術功課寫在佛經裡面的，而且需要花上一些篇幅。比如大家都知道的，二十（一）世紀最偉大的佛學家之一，亞歷山卓.釋羅滕迪克，其用語對於一般僧眾來說，高深玄妙無比。
在其著作當中，花費了一定篇幅來描述所謂吹脹代數版本--- Proj 構造，並且用 proper 這樣的語言，來描述射影空間是代數意義下「完備的」。而如果深究的話會發現，吹脹的思想和傳統的幾何直觀，仍然是一致的。
6樓：
數學雖然可以是貴族的遊戲，但沒有任何功利效果，也無法普及。
0作為除數，可以強行定義一下，但沒什麼實際用處，無法傳播開來。
虛數在工程上有很多用處，因此傳播開了。
7樓：CuKing
簡單的說,如何比較合理的定義乙個分母為0的除法?
我們知道對任何乙個數 , ,那麼兩邊除以 ,可得 ,也就是說 可得任何數(其實某些方程的增根也是類似的道理).
假如有乙個非0的數 , 設 ,把分母乘過去,得到 ,這顯然矛盾.
於是,如果真的要定義分母為0的除法,如果被除數是0,則可得結果為任何數,沒有意義,如果被除數非0,則直接無解,也沒有意義,強行定義乙個除法並不會帶來什麼好處,所以乾脆規定無意義
8樓：木羽
不請自來，在拓展複數平面（又稱黎曼球面）中，分母為零是有意義的，任何數比上0都為無窮（∞）。值得一提的是，拓展複數平面不是乙個域（Field）。
9樓：JennyVenus
做個逆運算就行了，負數開方得虛數，虛數平方得負數，一一對應。
分母為零時 1/0 = 8/0 = 8685557855/0
做不到一一對應，就沒有意義。
10樓：
其實這是乙個無聊/有趣的問題。
說它無聊，是因為答案也很無聊。允許分母為0得到的數系太平凡了，如果我們要求可逆性那所有數都相等，你研究個啥？但虛數的引入破壞的東西不多，最重要的大概也就是個序關係，比起好處來說都不值一提了。
說它有趣，是因為這樣可以引進抽象代數，用代數可以說明為什麼這兩者有本質上的區別。順便說明新規定也是要符合基本法的。當然好像也有引進1/0這種的，具體操作大概類似於無窮遠點，在某些方面也會方便一些，但肯定和題目相差甚遠了。
寫得很亂，回頭整理一下，具體寫個科普，在此之前還是先匿名吧。
發現我原來想寫的東西已經被別的答主寫過了，那就隨便談談數學史吧。
複數是求一元三次方程根式解時的自然產物，1/0沒有這種需求。所以說其實最初的數學家們也不想引入虛數，生活所迫嘛。
無窮遠點應該是畫法幾何的要求，後來發現引入這東西挺方便的。射影幾何，代數數論什麼的引入無窮遠點後都會變得簡單。而且無窮遠點能用黎曼球面來給出模型，1/0看上去就很不直觀。
不考慮收斂域，你直接把x=1代到1/(1-x)的泰勒展開之後就會發現結果是1+1+1+……這玩意是該函式奇點，整個復平面洛朗就會在這裡栽進坑裡面，這是先天性缺陷，沒辦法。你要說x>1時用泰勒，還能改個求和定義，引進p進數重新把有理數完備化一遍之類的，x=1我是真想不到。
我數理邏輯不好，每次看超實數都昏昏欲睡，所以不知道有沒有什麼關係。但康威曾經發現超現實數(wiki上說是某種意義上最大的有序域)，那裡面1/ε=ω，其中ε小於一切正實數而大於0，而ω是aleph_0(我記得《ONAG》是這樣說的，我現在手頭無書，此處存疑)。反正ε不是0，我就順口提一句，題主在這方面就死了這條心吧。
1/0的引入會很麻煩，不講了。
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