1樓：張戎
之前在北京大學學了整整乙個學期的調和分析，是由BICMR的苗老師主講。在這門
課上我受益匪淺，故寫一篇文章來感激下這位老師，同時寫一下自己學習調和分析的感受。
調和分析起源於 Fourier 這位數學家的研究，故也可以稱為 Fourier 分析。其主要內
容包括運算元插值方法，Hardy-Littlewood 極大運算元，Fourier變換，Caldron-Zygmund's
Inequality, 函式空間，Ap 權等等。下面一一介紹這些基本內容。
(1) 運算元插值方法裡面主要有 Marcinkiewicz Interpolation Theorem 和 Riesz Thorin
Interpolation Theorem兩個定理，分別是用實變方法和復變方法證明的。這兩個定理則是
研究運算元的 L^p 有界性的關鍵定理，是整個調和分析的基礎。
(2) Hardy—Littlewood Maximal Operator
這個是乙個相當重要的擬線性運算元，利用 Vitali Covering Theorem 和 Marcinkiewicz
Interpolation Theorem 可以證明該運算元是 L^p 有界的。證明過程不超過10行，但是證明
過程相當的漂亮。
(3) Fourier Transformation
調和分析的主要工具，這個工具不僅僅在調和分析上有用，在 PDE 和隨機過程中，這也是
乙個相當重要的工具。它把乙個物理空間上的函式，轉換成頻率空間上的函式，從而獲得
了很多很好的性質。
(4) Calderon-Zygmund's Inequality
這個定理是調和分析的經典定理之一，是處理卷積型的奇異積分的。可以看成是
Minkowskii不等式的推廣。Zygmund 把定理的條件放的很弱，只需要加上 Hormander 條件
就可以得到運算元的 L^p 有界性。然後也可以考慮其條件的充要條件。
(5) 函式空間
調和分析裡面提到的函式空間包括 Sobolev space, Lipschitz space, Hardy space,
Besov space 等等。 其中 Sobolev space 在 PDE 上面用處廣泛，其代表作就是 Adams
的 Sobolev Space. Besov Space 裡面有乙個插值定理，也相當的重要，差不多5頁吧，當
時苗老師讓我們全部背下來，嘿嘿。另外， Hardy Space裡面有乙個相當重要的定理，就
是所謂的 Duality of BMO and H^1 Space. 其證明過程大概有10頁吧，是由
C.Fefferman 和 Elias.M.Stein在上個世紀70年代給出的，方法太經典了，看完之後甚至
會覺得自己沒有必要學數學了。
(6) Ap weight
這個也是調和分析的分支之一，其中周民強老先生的書上有詳細記載，就不一一闡述了。
以上的這些內容就是上個學期在北大學習所學到的東西，學了調和分析之後，基本上就不
怕所謂的硬分析了。總之收穫還是蠻多的，非常欣賞那位老師，乙個學期講了那麼多東西
。其實以上我提到的只是他講的東西的一半內容，他後面還講了很多 Schrodinger 方程的
內容，由於本人實力有限，實在是沒有能力再學後面的內容了。
參考文獻：
Loukas Grafakos GTM249 Classical Fourier Analysis
Loukas Grafakos GTM250 Modern Fourier Analysis
(上面這兩本書是調和分析的經典之作，幾乎涵蓋了實變方法的所有內容。不過有點厚，差
不多1100頁。)
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