1樓：Jerry
說一句話，那些說微元法不嚴謹的估計基本沒領悟到精髓，比如民科證明π=4就是沒有不理解微元法到底是怎樣的，我也看過知乎上關於民科證明π=4的相關問題，幾百個回答就沒幾個點到精髓的，包括那種高讚回答。
2樓：夏洛克
是嚴謹的。數學分析課本裡的「曲線積分」、「第二類曲線積分」、「曲面積分」這些鬼東西就是微元法。
我喜歡物理是因為物理裡是基於事實的，即便是人為編造的東西也有個來龍去脈。
而國內的數學討厭就討厭在在它那些上來就逼你接受的概念和定義，也不知道是偷來的還是搶來的！
其中曲線積分、曲面積分、場論，散度，旋度，還有向量什麼的都是從物理那兒繼承過來的！
卻有人把它編到數學書裡，也沒講怎麼來的，上來就定義、定理、計算三連，裝得好像是自己的發明創造似的，可以說是非常不要臉了！
3樓：赭青邃
從牛頓和萊布尼茲的時代開始，人們對於微元法的乙個爭議點就在於——在各種表示中所用到的無窮小量 是如何被定義的。
我們的構造過程如下——我們首先尋找句子集 使得 ，具體的做法是這樣的 ，其中 代表描述 的語言。在這個構造之中，我們得到乙個基數不可數的集合 ，這個集合包含了模型 所滿足資訊。
接下來，我們將 擴張—— ，這樣，我們得到了乙個任意有限可滿足的語句集 ，而由緊緻性定理，我們就得到了 可滿足，如此，存在乙個模型 使得 ，很明顯，我們可以在 和 之間建立同態（注意，我們並不一定能作出 與 之間的同構，而只能構建同態，這是由於對於無窮的句子集，總可以調整模型的基數使得他們並不同構）關係，我們只需要建立這樣的對映
如此一來，我們就得到，在我們新構建的模型 中， 小於所有的正有理數，也就小於所有的正實數，並且大於零。
實際上，以上提到的方法叫做建立「非標準的算術模型」，可以在許多數理邏輯教材中找到。
4樓：microball
如果乙個函式 定義在某個空間/曲面/曲線 上，那麼微元法失敗的情形可能(但不限於) 以下幾大類：
1. 子集 S 本身的問題。例如某曲線 S 的 total variation (總變差) 發散，那麼在上面的積分就會有定義問題。
最有名的例子就是 Brownian path，按照積分在微元上取值的不同，可能有不同結果 (Ito 或 Stratonovich 積分)。
2. 對於普通 Lebesgue 積分，子集 S 不可測度，或函式 F 不可測度。最有名的例子就是 delta measure，如果測度 F 的所有質量都集中在乙個點上，那麼對這個點周圍使用微元法都會出現問題。
3. F 本身不連續，一階偏微分不連續，或高階偏微分不連續。如此在使用微元法時，取到這些極限時會出問題。
4. 微元本身在引數化時出了問題。微元通常是某個引數座標系 下的 。
當座標轉換 在某些點不連續時，在這附近取的微元 ，在原座標系下 可能並不是乙個微元 (不連續變換下，乙個微元可能被對映到多個不相連通的子集)。
5樓：
但是你找乙個表面處處連續卻不可導的材料看看？為什麼理工科大都不學分析？因為一般人根本就不可能遇到那些亂七八糟的特殊情況。限制在非常光滑的函式下，微元法是可以被證明是正確的
6樓：Nintendoyes
其實問嚴不嚴謹是乙個挺難回答的問題。
如果是從純物理或者數學的角度講，肯定是不嚴謹的，本身你用計算機算就有捨入誤差，而且微元法的誤差這部分在計算的時候相當於被扔掉了。
但是站在偏工程一點的角度來講，我認為在問嚴不嚴謹之前，應該先問問這個問題我們站在什麼樣的精度上考慮。換句話說，我們要算某種量的時候要考慮到小數點後第幾位。比如你要計算的量的值如果就是10這個數量級，微元分的不是很小，你考慮到小數點後兩三位，你的微元法就是嚴謹的。
但是你要考慮到小數點後100位，那肯定就不嚴謹了。
7樓：通稱Superman
微元法這個東西出現的挺早的，幾乎是伴隨著早期微積分誕生的，或者說早期微積分就是基於這個方法發展出來的。
至於嚴不嚴謹，我舉個例子題主感受下，嚴不嚴謹你自己判斷。
這個例子出自《自然哲學的數學原理》（【英】艾薩克 · 牛頓 ）第一卷第二部分的命題1，定理1，又有力學又有幾何。
該處主要是想要搞清楚這樣乙個問題：繞太陽執行的行星是不是受到乙個始終指向太陽的力？
以下簡要概括他的證明方法：
作者從克卜勒的經驗定律（面積率）出發，畫了如上一張草圖。S是太陽的位置，行星從A點出發，在經過一段極短的時間delta-t之後運動到B初（注意從這裡就開始微元法了嗷），這個時候行星突然受到乙個力從而改變運動的方向，再經過同樣長的一段delta-t之後，到C點，後面的D，E，F以此類推。
我們主要看這個A到B到C的過程。首先延長AB到c（注意這裡是小寫的c），使得AB=Bc，那麼按照牛頓第二定律，線段Cc的方向就是行星受力方向。如果能夠證明Cc平行於太陽與行星受力處的連線SB，那麼就能說明在B點受力是指向太陽的。
可以馬上發現，上面的說法的是顯而易見的。因為AB=Bc，所以等底同高的三角形SAB面積等於三角形SBc，而克卜勒說相同時間掃過相同面積（面積率），這表示三角形SAB面積等於SBC。綜上，三角形SBc的面積等於SBC的面積，因為面積相等，它們又是同底三角形，故而高相等，因此Cc必平行SB。
同理C，D，E，F ... 以此類推，從而能夠說明始終受到指向太陽的力。
命題得證。
通過這個例子，我其實想說的是在早期的書籍中大量充斥著這些微元法和早期微積分。嚴謹性還是還是看你能不能接受。比如這個例子，有的人就不太能接受這種幾何微元法的證明。
8樓：戴延
這是乙個很好的問題，無論是非數學專業的《高等數學》還是數學專業的《數學分析》都並未在微元法的原理上做過多的闡述，而是憑藉直觀讓讀者直接使用。在數學系眼中微元法像是應用數學，在非數學系眼中微元法像是純粹數學的技巧。實際上，只要用（微分形式的或者積分形式的）中值定理或是實數完備性的單調有界收斂定理就可以證明微元法。
要麼用中值定理做一點放縮用夾逼，要麼就證明差分方程的單調有界。實質是證明該問題的差分方程的極限一定存在，收斂於直觀給出來的微分方程。
9樓：紙飛機
這種方法在很多時候是很有效的,但是有條件.在使用不當的時候可能會出現錯誤, 比如以下的例子:
下圖的是很常見求圓周長的錯誤的方法. 用直角折線求和來得到圓的周長, 最後會發現 . 導致這種錯誤是源於每一步微元與真實長度的誤差是和微元同階的.
每一步直角折線的長度是 , 真實的長度是 , 兩者相減, 得到的誤差 誤差和微元是同一量級的! 於是在疊加的過程中, 誤差也一樣會疊加, 最終導致誤差 達到和周長乙個量級.
和微元法這種需要考慮誤差階數類似的還有物理中的取極限的過程, 以及許多無窮大無窮小相關的問題.例如以下問題
無限大帶電平面在無窮遠處的電場是多少?
在有限大帶電圓平面的正中心做乙個圓柱形高斯面, 使得圓柱面無限細, 但是長度無窮長. 這時候你能認為高斯面的側面沒有電通量嗎?
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