1樓：劍拔青雲
注意，一元函式可導的涵義是左導數與右導數都存在且相等。所以在某開區間內可導的函式，其導函式在該區間內必然連續。而微分中值定理就建立在這個基礎上。
2樓：「已登出」
分段連續好像沒有很嚴格的定義，我這裡將分段作為能在不同區間上寫成不同的解析式處理，給出乙個比較「病態」的反例。
反例[1]：（ 上的乙個可微函式，其導函式在無理點連續而在有理點間斷）
在閉區間定義函式
則所以 在 處連續而在 處間斷.
設 為 中的全體有理數，令
.顯然級數 在 上一致收斂，因而
.於是導函式在 中任一無理點連續而在任一有理點間斷.
（另外補充一句，被積函式在閉區間分段連續只是黎曼可積的充分不必要條件.）
反對 @劍拔青雲 的「開區間可導的函式，其導函式在該區間內連續」說法，反例如下：
當 時，用導數的運算法則可以求得 .
當 時，用定義計算 .
（顯然導數存在，左右導數相等且為0；而導函式的左右極限都不存在，故導函式不連續.）
開區間可導指的是開區間內導數值處處存在，即存在導函式，但導函式的連續性無法得知.
定義域上連續可導函式在不同點用泰勒公式展開的到的多項式相同嗎？
如果一開始的函式不是多項式，那麼有限階展開當然不一定相等。考慮無窮項的冪級數，那麼需要泰勒的餘項趨於0才能保證函式等於那個冪級數，符合的函式是解析函式，無窮可微但不解析的函式是存在的。還要注意，復平面上某些函式有支點的問題，比如 0就是它的支點。儘管在單位圓 上它是解析的，但內部包含了二階支點，一段...
在一點處二階可導可以說明一階導函式在該點領域內可導嗎？
隨心所欲 出自楊超的139高分系列高數部分解析。我知道有人要反駁 連續不是區間上的概念，連續包括在一點連續和在區間上連續，若說連續是區間上的概念，等於忽視了在一點上連續的概念。請看連續的定義 注意，這裡使用了無限接近的概念。即紅框部分。關於無限接近的概念。無限接近的概念比較模糊。無限接近具有兩個性質...
對乙個連續且處處可導函式的任意一點作切線，切線與函式至少有乙個除切點以外的交點，該函式滿足什麼條件？
充要條件是，對任意x0,方程 f x0 f x0 x x0 f x 都有至少兩個不等的實根。函式是凸 或凹 是上述方程只有乙個根的充分條件 令F x f x f x0 f x0 x x0 則F x f x f x0 若f是凸的，則F x 0，F x 單調遞減，又F x0 0，知x x0時，F x 0...