阿基公尺德如何用槓桿原理證明拋物線面積是其內接三角形的4 3？

1樓：

這個問題相當於在不知道微積分的情況下用初等方法求。

我初中的時候想過下面這個解法。我想阿基公尺德的證明本質上應該是一樣的。

考慮乙個人a從原點O開始做勻加速直線運動，加速度是1m/s^2，初速0. 在1s後到達B。在t時間， a到原點距離S(t). 那麼OB的距離就是S(1)=S。

如果倒帶的話，就會看見a做勻減速直線運動從B到O，加速度－1m/s^2，初速1。把這個倒退的像記為a'.那麼在t時間a'到原點距離時S-S(1-t) 公尺.

現在把兩個像放在一起，同時開始運動，他們在時間t_0相遇，就有 S=S(t_0)+S-S(t-t_0),即 S(t_0)=S(1-t_0)。因為S是嚴格增函式， t_0=1-t_0。所以t_0＝1/2s.

現在以a為參照物看a'。 a'相對a的速度恒為1。所以在S/1 =S秒後相遇。這就得到S=1/2了。

2樓：jo ji

國內龔公升的《簡明微積分發展史》窮竭法一章節，給出了乙個非常詳細的證明，而且後面還有一些其他阿基公尺德利用槓桿原理證明其他幾何規律的例證，可以看看，具體來說就是構造法，不過這種構造法，不是一般人能想出來的，應該是一些天才人物之所以被稱之為天才的一種原因吧。

在就是維基百科上的證明the quadrature of the parabola，這個條目比較詳細的闡述了阿基公尺德證明的一些歷史和細節，比如他利用的一些拋物線的性質，得力於歐幾里得對於橢圓曲線的研究，當然還有一些其他的前人的結果。

這裡提一下，阿基公尺德其實對於這個命題，有兩種證法，乙個是利用他在物理上發現的槓桿原理的構造法證明，乙個就是被稱之為窮竭法的無窮級數求和的證明。第二證明實際上是阿基公尺德對於他第乙個證明的再證明。也正因為這個工作，他被稱為積分學的祖師爺。

當然了，在中國，也用同樣的工作了，被稱之為割圓術。