1樓：wdpde
在特例情況下成立的命題，不一定可以推廣。但整體上不成立的命題，區域性卻可能成立。實數作為複數的子集，有複數沒有的性質，沒矛盾！
2樓：江城
複數不能比較大小，但是複數的modulus（模）可以；而在實軸上的複數（即為實數）自身的real value絕對值即為其模，故可比較大小
再者複數這個概念是在實數之上發展出來的，你問了個爸爸為什麼像兒子的一類問題
3樓：法國球
數學上，把「能比較大小」的集合叫做「序集」，也就是排了序的集合。你的問題就是：為什麼實數是序集，而複數不是序集？
回答：設A是乙個集合，B是A的子集。如果A是序集，那麼B可以繼承A的序結構（兒子繼承爹），從而B也是序集。
例如實數是序集，有理數或者自然數都可以繼承實數的序關係，成為序集。但是反之則不然：如果B是序集，那麼A未必已經是序集（爹不能繼承兒子）(儘管可以新定義A上的序結構，使得B原本的序結構是繼承自A的那個)。
再次強調，爹有兒子一定有，但是爹沒有兒子不一定沒有！複數不能比大小不代表實數也不能！要注意，一般的序集中，並非任意兩個元素都能比大小(這樣的序集稱為全序集，意思是全部都排好序了)，為了表示強調，一般的序集我們稱之為偏序集，意思是其中只有一部分排好序了。
此外，序集還有很多種，例如良序集，定向集等等。
任何集合都可以排序，而且不僅僅是排序，甚至可以排出良序。良序，顧名思義，是「最好的序結構」：首先它必須是全序，其次它的任何非空子集都有最小元。
自然數就是良序集的例子(想想數學歸納法吧)，而實數的通常序關係並不是良序，因為開區間(a,b)沒有最小元。
有些時候，當我們說「乙個集合不能比大小」時，意思是這個集合上沒有自然的序結構，而並非沒有任何序結構(見3)。至於哪些序結構是「自然」的？不同的場合可能有不同的結論，可能是那些「實用」的，或「符合常識」的，或「與其他結構相容」的，甚至是「漂亮」的。
總之，複數上的確沒有什麼特別公認是自然的序結構，因此我們才說「複數不能比大小」。
再仔細考慮一下你說的複數和實數的問題。實數的通常序關係就是比大小，這個沒有任何問題。複數到底有沒有序關係呢？
可以有，而且可以有很多種，下面我們列舉幾種(都因為種種原因，不算是自然的序結構)：假設兩個複數a+bi和c+di，其中a，b，c，d都是實數。
規定a+bi≤c+di當且僅當a≤b且c≤d，問：這是全序嗎？是良序嗎？實數的通常序是不是繼承自它？
規定a+bi≤c+di當且僅當a
已知實數的通常序並不是良序，那麼是否存在複數上的良序結構，使得實數上的通常序繼承自它？
答案：不是，不是，是。
是，不是，是。
不存在。
4樓：智商稅
一切多項式方程的根構成全體複數
但複數不能比較大小
能相互比較大小的複數當然只可以是一部分複數。
0是加法單位元、1是乘法單位元。
能和0、1比較大小的全體複數，剛好就是實數本身。事實上，全序性是實數的本性。
事實上這涉及到乙個邏輯學上的本性問題，「對集合中全體元素的性質，a和非a，誰才能在取子集運算中保持不變？」
複數有兩個性質，「可以是多項式方程的根」，「不可相互比較大小」。但是實數作為複數的子集，繼承第乙個性質，而違反第二個性質。
就像那個經典的數學笑話，數學家把自己圈在乙個小圈中，說「自己在外面」。
5樓：楊樹森
這個問題足以體現出沒有將基本邏輯用語深入人心。什麼叫能比較大小？什麼叫不能比較大小？應該將其中包含的邏輯用語補充出來。
所謂在集合 上建立乙個大小關係，是指對於任意 成立 或 其中的關係使得對於任意 成立
若 且 則
若 且 則
此時就說 上的元素可以比較大小。而 上的元素不可以比較大小是一種不正式的說法，按照量詞的性質，它指的是存在 使得 和 都不成立。
若 上的元素可以比較大小，則按照如此的大小關係， 的任意子集上的元素也可以比較大小。但是反過來不一定，因為沒有確認是否為補充進來的元素建立了能與原來相容的大小關係。
實數集是複數集的子集。實數能比較大小，但是複數不能，這沒有矛盾。假如是複數能比較大小，但是實數不能，這才矛盾了。
6樓：碎玉瓊華
大小的本質是集合上定義的一種偏序的關係。而對於定義了乙個偏序的集合S來說，並不一定能保證任意兩個都是可比較的，可能只有在S的某個子集是可比較的（偏序集任意兩個元素都可比較，此時稱這個偏序關係為乙個全序）。
回到這個具體的問題上來。我們通常認為的兩個數之間的大小關係是複數集C上的乙個偏序，但不是全序，實數集R是C的乙個鏈。在這個意義上來說，我們常說的「複數不能比較大小」的說法更加準確的理解應該是「通常認為的兩個數之間的大小關係不是複數集C上的乙個偏序但不是全序」，也就是複數集上的一部分元素可以通過這種關係比較大小，但不是全部元素。
通常認為的數的大小關係不是複數集C上的乙個全序，但是C上是可以通過其他方式定義全序的。
7樓：三十三
8樓：
實數域裡的數（當然是實數）可以比較大小。
複數域裡的數（即便虛部為零的數）不存在大小關係。
也就是說：在實數域裡：2>1。在複數域裡，1和2不存在大小關係。
9樓：拓唐
實際上，如果只把複數作為乙個集合。複數是能和實數構成雙射的。按照這種雙射，複數也能構成乙個有序集合。
問題在於，這個有序集合不能滿足現有複數的運算法則，或者說按現有的它也就失去了意義。
10樓：雲山亂
實數是不離散的，整數屬於實數，為什麼整數是離散的？
舉這個例子只想說我們推廣，比如說實數，的時候，我們可以讓推廣後的物件，即複數，不具有實數的性質，只要推廣到複數能夠帶來更本質的便利。
便利1 複數域下多項式方程一定有解
便利2 複數域下各個漂亮的定理。比如解釋泰勒展開式收斂域的問題。
便利3 更好的表達現實世界
等等等等
11樓：小曉
這很簡單，實數公理中有序公理，複數沒有定義序公理。我們通過定義序公理，把實數和一般的複數區別開來。
簡而言之，實數是複數，但是特殊的複數，具有「有序」這樣乙個特殊性質。
複數 i 和 1 i 是否能比較大小？
在複數範圍內，即便是虛部為0的複數，也不能比較大小。實數域上，2 1 複數域上，2和1不存在大小關係。更不能因為兩個複數的虛部相同就認為存在大小關係。 東方既白 不可以。實數是乙個數，在數軸上表示乙個點，有大小之分，相互可以比較大小。複數不能在數軸上表示，可以在復平面上表示，它不是乙個數，它的幾何意...
複數為什麼比較不了大小？
因為複數構成乙個域 首先把複數定義為由兩個實數組成的向量如 這與 形式的複數完全相同，證明每個域公理時我們利用了 滿足同一公理的事實 但是複數不是有序域。有序域 是乙個域，也是滿足以下兩條公理的有序集 0且y 0,那麼 forall x,y in F,xy 0 eeimg 1 當 0,1 時雖然 但...
有沒有兩個理論上無法比較大小的實數？
並沒有。敝人在這點上無法苟同 ZS Chen 的意見 這裡的 無法比較 完全是因為無法憑ZFC確定x的值是2還是0，但無論是哪一種情況，比較2 1和0 1都是沒問題的。換言之，此現象並不表示提到的實數本身的性質，而是表示描述方式本身有內在侷限。如果認為上面的例子就是 實數間無法比較大小 的例子，那我...