1樓：哈德遜河畔的鵝
大概寫點證明，結論是normal equation必有解，唯一或無窮取決於 是否full rank。
首先來證明 和 的null space一樣。
若任意向量 在 的null space中，則 ，那麼 ，所以 也在 的null space中；
若 ，則 ，所以 ， 也在 的null space中。
即證。因為 的row space是null space的orthogonal complements，所以X的row space和 的一樣；又因為 對稱，所以也就是 的column space和 的一樣。所以normal equation：
必有解。
如果用pseudo inverse來表示解的話，總能得到乙個解，這個解在所有解中的norm最小。
2樓：Eliot Alexander
太多了。
雖然不太關心數學細節，MinL知友提到的矩陣滿秩是個要求。只是這是數學求解的要求，數學建模上要求還有多自變數共線性、Fisher檢驗整個模型不顯著(方差齊性)、不滿足正態分佈等。線性回歸的要求很高的。
雖然數學建模的條件不滿足不影響求解，但是不符的話做出來的模型也是錯的，可能很多人不關心。
3樓：
Min.L的回答已經說得很清楚了，所以你的問題如果考慮的是一般意義上的線形回歸，這就不是regression equation無答案的問題，而是係數的解不唯一的問題。時刻牢記矩陣表示式（X'X）^-1X'Y（手機打字見諒）有助於你理解OLS估計是咋來的。
不過正好我畢設做的模型用的是least squares estimator但是他就有要求X'X必須滿秩否則係數無解（或者準確說是cannot be defined）。但這不是傳統意義上的線性模型了，而是可加風險性模型，它的表示式看上去跟線性模型長得很像，估計的卻是cumulative coefficient，所以就會存在如果無法滿足X'X滿秩的話B(t)無解。（但是這裡的X也跟傳統意義上的自變數不一樣，它是每個event time t都對應著乙個矩陣）你要是對這個感興趣可以搜一搜，具體比較複雜無法手機三言兩語打出來.
Aalen 1989，A linear regression model for the analysis of life times.
4樓：Min.L
從regression equation是否有解的角度來看，除非X秩為零，否則基本都是可以解的；用g-inverse就好： 維矩陣 的乙個g-inverse 被定義為使得 成立的任一 維矩陣（g-inverse不唯一）。對於回歸模型 ，實際上就是解正規方程組
可以證明 列空間相等，所以正規方程組一定有解。乙個特解長成這樣：
（不唯一）
但是 是唯一的，即對於任意的 都保持不變。
然而，如果想要做推斷，那麼就需要對模型加更多的假設。多重共線性之類的問題只是會使得假設檢驗不可靠，屬於inference的問題；但是解還是可以解的。
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