下面這道題的第三步為何不能直接使用等價無窮小

1樓：皓墨

純加減可以用，純乘除可以用，因為這裡面的低階無窮小「蜷縮」著。這也是等價無窮小的意義所在。

但是如果比方說，o/o的不定式，如果分子的o是乙個1-1型，那麼這倆1不能直接用等價無窮小換掉。因為這時兩個「主要部分」相消了，所以剩下的低階無窮小這時就變成了「主要部分」，我們需要把那些「蜷縮」著的東西拆開來，看看細節到底是怎麼回事。

再比如，地球質量是大，你的質量是小，在你身上摘乙個原子，它的質量是小小。站在秤上一稱你的體重，有個數，這是大和小乘起來得到的，摘掉細胞後再稱一次，得到結果理應是大*(小-小小)，但是小小低一階，秤上看不出區別來，結果就一樣了。那麼我們說小和小-小小是「等價無窮小」。

但是你要是把那個原子單摘出來稱，說它重量為摘之前你的體重減去摘之後你的體重，這倆是「等價無窮小」，所以減完是零，那就不對了，這減完是小小。要是你在地球上稱出來結果是小，你當他沒有，算出來是零，這還勉強算可以接受，但是若我們拿乙個質量為大大大的黑洞去吸引他，還把小小當作零來看，這就不大行了。

2樓：白無

首先你可以思考一下等價無窮小是如何定義的（Taylor展開的前幾項？積商的極限？），很多公式的用法和條件都蘊含在它的定義或者證明裡面。

等價無窮小替換的使用物件：

分子、分母的整體

經過恒等變換後的積商因子。

換句話說，當乙個函式可以表示為部分×無窮小或者部分/無窮小的時候可以使用替換。

而你所提到的「加減法使用」的情況，確實有相關定理，但沒有必要記，該情況可以對應上述的第2種物件。

最後，在解極限題時，等價無窮小替換的做法，可以歸結於Taylor展開做法的特殊情況。當你實在拿不定主意的時候，可以暴力展開。

給道例題：