1樓：不等式愛好者
不請自來，小喵來答一下這個問題哈。
「先驗估計」是證明偏微分方程區域性存在性的第一步。以線性波方程的Cauchy problem為例，
1)假如我們想要證明在 的區間內存在解 ，並且我們想要證明 。那麼我們的第一步就是去證明 在 的區間內是有界的。
「先驗估計」中的「先驗」體現在我們先假設這個方程有解，然後估計解在某類函式空間（這裡是 ）中的範數。
Main Takeaways of this Article:
一般來說得到先驗估計的辦法是對要估計的範數求導。做方程的存在性時首先去推導一些先驗估計，如果推不出來，那麼可能存在性是錯的。用先驗估計證明存在性的方法是構造逼近序列後用弱收斂的 Banach-Alaoglu 定理。
怎麼得到先驗估計
一般來說得到先驗估計的辦法也很簡單，就是對要估計的範數
對時間 求導（這裡 是乙個向量分量是 的所有 階導）。然後把方程代入後再分部積分：
（代入方程(1)）
分部積分（用高斯定理）可知前兩項加起來是 0，最後一項有上界（當作練習）：
.所以有：
由Gronwall不等式可知，
2. 如果不能得到先驗估計那麼存在性可能是錯的
做方程的存在性時我們首先要考慮的就是推導一些先驗估計，如果我們嘗試了很多中範數求完導之後都不能估計這些範數，那麼可能存在性是錯的。
讓我們看個例子，考慮如下方程：
， (2)
如果我們試圖使用和剛才一樣的辦法去試圖得到乙個先驗估計，我們發現不管怎樣放縮我們總是不能控制解的範數：對要估計的範數 對時間 求導（簡單起見取 ），我們得到
也就是說
最後有我們發現不管怎麼樣放縮也不可能用前兩項控制第三項 。
事實上這時存在性定理也是錯的，考慮函式 ，這是方程 (2) 的乙個解但是存在時間 可以任意小。
3. 先驗估計可以推出存在性
我們接下來講一講為什麼有合適的先驗估計就可以推出存在性，這是經典的 Galerkin method。
還以方程 (1) 為例，我們假設這個方程關於 具有週期性邊值，也就是說 。那麼我們可以按傅利葉級數展開 ， ，從而有
， .代入方程 (2) 得到：
.也就是說， ，
證明這個方程的存在性並不容易，因為這是乙個關於無窮多個變數的常微分方程。我們考慮逼近方程（假裝所有的 當 時都是 0），
， ，(3)
這個方程的存在性可以由有限維常微的存在性得到。（方程 (3) 裡的 依賴於 ，我們偷個懶沒有加上標）。
給方程 (3) 裡的 加上上標 ，定義逼近解 ，那麼經計算得知，逼近序列 滿足以下方程：
. (4)
其中 為投影運算元 .
經對比我們可以發現，方程 (4) 與方程 (1) 極為相似，並且形式地當 時 (4) 會收斂到 (1) . 如果我們真的能說明 當 時收斂到乙個函式 ，那麼在 (4) 中取極限就可以說明 是 (1) 的乙個解。
證明極限存在的方法是用弱收斂的 Banach-Alaoglu 定理，這個定理告訴我們如果我們知道 的 範數關於 一致有界，那麼有弱收斂子列。所以我們只要估計 的 範數，這依然是利用先驗估計方法：
我們可以使用以下想法：相似的方程應該具有相似的先驗估計。所以我們期望有先驗估計
這個先驗估計的證明非常簡單，只要和之前推 (1) 的先驗估計時一樣對左邊範數求導並適當放縮即可。所以我們證明了逼近序列的 範數一致有界，我們就有弱收斂，然後在方程裡面取極限（這個取極限的arguement並不是很簡單）就完成了證明。
2樓：
看了 @Yu Deng 的回答後，自己從教材《橢圓與拋物型方程引論》中找到了相應的答案。
這裡介紹的是所謂「緊性方法」。
伍卓群. 橢圓與拋物型方程引論[M]. 科學出版社, 2003.
步驟總結：
磨光方程等號右端非齊次項，構造一列方程，從而得到一列解序列；
利用「先驗估計」證明解序列是「一致有界」的；
利用泛函分析中的 Arzela-Ascoli 定理抽子列；
證明子函式列的極限正是原方程的解。
此前接觸到的三類先驗估計，作用略有不同。
用於證明方程解的唯一性、穩定性。比如：調和方程的極值原理、熱傳導方程的最大模估計； 範數（能量模）估計、齊次波動方程的時；空導數的能量（模）守恆。
本科階段偏微分方程教材會涉及這類先驗估計，算是和數學物理方程這門課的本質區別吧 ；
用於抬高方程解的正則性(會涉及到Sobolev嵌入、廣義函式理論)。比如： Calderon–Zygmund 奇異積分運算元的有界性；Schauder估計；
用於證明方程解的存在性。比如：連續性方法，一般與「Banach壓縮對映不動點」定理連用。
Galerkin方法，一般會用到弱收斂、Arzela–Ascoli定理、抽子列。同時，Galerkin方法也是「有限元-PDE數值解」方法的基礎。
伍卓群. 橢圓與拋物型方程引論[M]. 科學出版社, 2003.
3樓：鄭直
先假設這個方程有解，得出這個解在某類函式空間裡的估計（如Shauder空間、Sobolev空間），再用這個空間的收斂性質可以證明解的存在性
4樓：Tom Zhu
先驗就是「想當然」。
後驗就是「實踐是檢驗一切真理的標準」。
先驗的作用是，盡量地為估計加入知識和資訊。
後驗的作用是，檢驗加入的知識和資訊是否靠譜。
5樓：
同意上面諸神的觀點
做乙個補充：先驗估計中的「先驗」（a priori）precisely就是康德哲學裡的「先驗」的意思，也就是說，the a priori knowledge is the knowledge which is valid prior to the practice of examining or acquiring it。所以，翻譯回PDE的語言中，a priori estimates就是不用解方程就能夠證明成立的estimates。
6樓：Yu Deng
這是個很聰明的想法，基於泛函分析中的弱收斂。
假設我們有乙個方程（E），我們想證明：
方程（E）有解，且其解滿足某個估計（通常是某個Sobolev空間模的估計，比如能量估計就是H^s模有界，Schauder估計就是C^s模有界等）。利用先驗估計的辦法，我們實際上只需證明：
如果方程（E）有解，則其解滿足所需的估計。單純從邏輯上這當然講不通，你怎麼知道方程有解呢？這就是數學家的聰明之處了。
做法是取一串方程（E_N）去逼近原方程（E），且每個（E_N）都必定有解；比如說取（E_N）為（E）的某個有限維（Galerkin）截斷，因而每個（E_N）可以轉化為ODE，所以（至少對短時間）必定有解。利用我們證明了的先驗估計（當然要對（E_N）進行，但多數時候（E）的先驗估計的證明可以原封不動地搬到（E_N）上去），就能得出所有（E_N）的解都滿足所需的估計，且這個估計對N是一致的。然後我們用泛函分析中的一條定理：
若序列在某個空間中有界，則在適當條件下，存在弱收斂的子列，且其弱極限依然有界。於是我們得到了乙個序列，弱收斂於某個函式f，且每個f_n都是某個方程的解，這些方程在適當意義下收斂於（E）。通過取極限，我們立刻得到f是方程（E）的解，且f滿足所需的估計。
你可以看到這就是有界序列必有收斂子列的定理（先驗估計的作用在於保證所論的序列確實有界），只不過這裡的收斂是弱收斂而已。歷史上先驗估計概念的提出是在20世紀初，也恰好大致是泛函分析開始發展起來那段時間。
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