1樓：
想想二元一次方程組，兩個方程係數如果線性相關的話，等於說這倆方程其實能代表的只有乙個有效線索，方程組的解也不是唯一的。如果兩個方程線性無關，它倆有兩個有效線索，方程組的解是唯一的。
n行m列矩陣可以看成n個方程m個未知數組成的齊次方程組。滿秩，就是n個方程係數都線性無關，不能被其他方程代替以後消除。
如果有效方程的個數等於未知數的個數，這個時候齊次方程組只有唯一0解。
2樓：
推薦看一下我的部落格文章：線性代數拾遺（一 ）：線性方程組、向量方程和矩陣方程，這裡面有比較詳細的解釋，部分摘錄如下，直接貼上過來的，公式排版可能有些亂，還請見諒。
首先，矩陣本身是用來解線性方程組的工具。
線性方程組
可以用向量方程表示：
而向量方程可以轉化為矩陣方程表示：
，其中，
如此，我們就可以在矩陣的範圍內來解線性方程組。
向量的線性組合可以看作向量與矩陣的乘積，比如乙個 m×n 的矩陣A，各列為a1,,an，而 x 為 n 維向量，則有矩陣方程：
由矩陣方程的定義，我們可以得出：方程Ax=b有解當且僅當b為A中列的線性組合。又因為這些列向量的所有線性組合構成了乙個空間（列空間）Span，向量b是否存在於這個空間，就等價於Ax=b有解。
設 ，求方程Ax=b是否對 b1,b2,b3 的所有取值都有解？
我們首先對增廣矩陣化簡：
可以看出，當b取某些值時，不等於0，於是就會有無解的情況。只有當 時，方程才有解。注意，這個式子在幾何中表示三維中的乙個平面， 結合Ax=b，這個平面就是A中列向量線性組合構成的集合。
本來b是三維的向量，如果沒有限制的話它可以表示整個三維空間，然而，在這個空間中，一大部分都不滿足使Ax=b有解。這僅剩的乙個平面就是A的列向量所能張成的全部空間。這些三維列向量最終張成了乙個二維平面。
觀察行最簡形式矩陣，可以知道，之所以b的一些取值造成矩陣方程無解，是因為係數矩陣A中最後一行沒有主元，在行最簡形式中變成了形如 [0 0 0 b] 的行。如果係數矩陣 A中每一行都有主元的話，那麼就不會出現無解的情況。
反過來看，當 n 個 m 維列向量能張成 時（即矩陣A 滿秩），就說明對任意 ，方程Ax=b都有解，也就是說， 空間中的任意向量，都可以由A的列線性表示。
矩陣可以按列分解為若干個向量的組合，得到矩陣的列空間。
列空間在分析矩陣中各列向量的線性相關性時很有幫助：只有各列線性無關時，這 n 個列才能張成 n 維空間，這時就說這個矩陣的秩為 n；而假如這裡面有 1 列和其他某列線性相關，那麼這 n 個列就只能張成 n1 維空間，這個矩陣的秩就是 n1；也就是說，矩陣的秩說明了這個矩陣的列向量最多能張成多少維。
反過來，也可以通過幾何來幫助理解下不滿秩的情況。如下圖所示，A=[a1a2a3]，由於這 3 個向量線性相關（原答案說的「其中2個向量線性相關」有誤，感謝 @曦晗吖 和 @三宅公尺吉 提醒更正），導致 3 個列向量只能張成 2 維，因此A的秩為 2。所以Ax得不到任意三維向量b，也就是Ax=b並不對所有b成立（只有b是A列空間中的向量時才成立）。
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