1樓：
簡單說，沒有人在意你怎麼定義三元組，而你也不可能「惟一」定義乙個三元組。數學界並沒有選擇了誰，它們全都要。
我們在使用「多元組」的時候，實際上是在依賴 Set 裡 product 的 universal property（更具體說是 ）。具體怎麼用集合實現不重要，反正通過 universal property 的構造都是差乙個同構意義下惟一的。那個 } 還是什麼別的寫法只是用來保證二元 product 的存在性而已，而有了二元的以後 n-元 product 完全是 formal 的。
關於 n-元 product 還需要再多說一下，這東西別說是集合論的具體實現了，即使是 formal 的構造也不惟一，只能在差乙個自然同構意義下給出「結合性」 （好吧我不應該說「即使」，這種差乙個高階同構意義下成立的等式才是常態）。這個不惟一性比前面 universal property 裡面 object 層面上的不惟一性還要強一點，即使你模掉所有的同構關係只保留 skeleton 也不行。
考慮 Set 的 skeleton sk(Set)，假如這個自然同構是 identity，那我們考慮它作用在三個可數無窮集 C（注意這裡只有惟一乙個「可數無窮集」，並且 ）時的情況，自然性要求對任意 都有 。現在把它們看做是態射 ，它們各自的分量也要相等，即 ，這意味著任意兩個態射 都是相等的，而我們知道這顯然是不可能的。
PS：最後那個例子我是在http://www.
math.jhu.edu/~eriehl/co
ntext.pdf
裡看到的，而那裡又引自 GTM5，據稱最早來自於 Isbell。
2樓：
這裡的簡潔性是虛假的。
學集合論的時候我們要用集合（上的操作）去編碼（encode）數學物件和數學操作，只要這個編碼是可行的就行了。有乙個 a，有乙個 b，數學上給你乙個 pair，集合上沒有定義怎麼辦？沒關係，我們定義個就行了，但是定義本身是隨意的。
對於 n 元組來說，我們唯一想要的東西就是任何一種滿足這個條件的定義都能解決問題。
你也說了是常見的定義，我還可以將 ordered pair 定義成：
或者 或者在有 regularity 的情況下定義成 。
更進一步，我們也可以將多元的情況定義成：
能用就行了。你真的會用這個定義去算嗎？不會，因為你已經知道這個定義滿足條件：
那你在證明的時候直接用這個打包過的東西去證就好了。真寫成展開的形式，你數括號都數不清。展開的形式真的要用，是給計算機用的，但是這種複雜對於機器來說就是小意思了。
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